# 一阶方程的初值问题

已知二元函数 $f(x,y)$ 及函数 $y(x)$ 在初值点 $x_0$ 的函数值 $y_0$ ，求函数 $y(x)$ ，使其满足

$y'=f(x,y) --① \\ y(x_0)=y_0--②$

理论上说，只要 $f(x,y)$ 适当光滑，例如：对于 $y$ 满足 $Lipschitz$ 条件

$Lipschitz$ 条件：

存在 $L\geq 0$ ，对于任意的 $y$ 和 $\bar y$ ，就有

$|f(x,y)-f(x,\bar y)|\leq L|y-\bar y|$

可以保证满足上述初值的解 $y=y(x)$ 存在并唯一

# 欧拉方法

# 显示欧拉法

在 $x_n$ 处的导数 $y'(x_n)$ 可以近似地表示成一阶向前差商 或者对①式进行积分

可以将常微分方程初值问题式①②转换成:

$\left\{\begin{matrix} y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n) &n=0,1,2,... \\ y_0=y(x_0)& \end{matrix}\right.$

几何意义：

# 隐式欧拉法

用向后差商 $\frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h}$ 替代 $y'(x_{n+1})$

于是可导出一个新的计算方法：

$\left\{\begin{matrix} y_{n+1}=y_n+hf(x_{n+1},y_{n+1}) &n=0,1,2,... \\ y_0=y(x_0)& \end{matrix}\right.$

# 二步欧拉法

积分区间的宽度选为二步步长，即积分区间为 $[x_{n-1},x_{n+1}]$

转换成：

$\left\{\begin{matrix} y_{n+1}=y_{n-1}+hf(x_{n},y_{n}) &n=0,1,2,... \\ y_0=y(x_0)& \end{matrix}\right.$

转换过程

$\begin{aligned} \int_{x_{n-1}}^{x_{n+1}}y'dx&=y(x_{n+1})-y(x_{n-1})\\ &=\int_{x_{n-1}}^{x_{n+1}}f[x,y(x)]dx\\ &\approx(x_{n+1}-x_{n-1})f[x,y(x)]\\ &=2hf[x,y(x)] \end{aligned}$

# 梯形欧拉法

梯形公式欧拉法是显式欧拉法和隐式欧拉法的算术平均

$\left\{\begin{matrix} y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{2}[f(x_{n},y_{n})+f(x_{n+1},y_{n+1})] &n=0,1,2,... \\ y_0=y(x_0)& \end{matrix}\right.$

# 改进的欧拉法

可以先用显式欧拉法求出 $y(x_{n+1})$ 的一个粗略近似值 (预报值 $\bar y_{n+1}$ )，然后用它代入梯形法公式的右端，用梯形法计算 $y(x_{n+1})$ 的较为精确的近似值（校正值 $y_{n+1}$ ）

预报值：

$\bar y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)$

校正值：

$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},\bar y_{n+1})]$

两种表示方式

嵌套形式

$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_n+hf(x_n,y_n))]$
平均形式

$\left\{\begin{matrix} y_p= y_n+hf(x_n,y_n) \\ y_c=y_n+hf(x_n,y_p)\\ y_{n+1}=\frac{1}{2}(y_p+y_c) \end{matrix}\right.$