# 逻辑符号

异或：

$$A\oplus B=\bar AB+A\bar B$$

同或：

$$A\odot B=AB+\bar A\bar B$$

非的优先级最高，与运算齐次，接着是异或、同或，或运算优先级最低

# 基本定理

注意 $+$ 也有分配律

名称	公式 a	公式 b
分配律	$A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot(A+C)$	$A\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C$
德摩根定理	$\overline{A+B}=\bar{A}\cdot\bar B$	$\overline{A\cdot B}=\bar A+\bar B$

# 常用公式

$$A+A\cdot B = A,A\cdot(A+B) = A$$

$$A+\bar A\cdot B=A+B,A\cdot (\bar A+B) = A\cdot B\\ (利用分配律)$$

$$A\cdot B+A\cdot \bar B = A,(A+B)\cdot(A+\bar B)=A$$

$$A\cdot B+\bar A\cdot C + B\cdot C=A\cdot B+\bar A\cdot C,(A+B)\cdot(\bar A+ C)\cdot(B+C)=(A+B)\cdot(\bar A+C)$$

$$A+\overline{A+B}=A+\bar B,A\cdot\overline{A\cdot B}=A\cdot \bar B$$

# 逻辑函数的表示法

# 逻辑电路图

例如：

$$F = \overline{\bar{A}+B\bar{C}}+\bar{A}\bar{B}\bar{C}+C$$

逻辑电路图如下：

# 波形图

利用真值表画出波形图

# 逻辑函数表达式

# 基本形式

# 与或表达式

积之和

例如：

$$F(A,B,C,D)=\bar AB+\bar BC+D$$

# 或与表达式

和之积

例如：

$$F(A,B,C,D)=(\bar A+B)(\bar B+C+D)D$$

# 与非表达式

任何逻辑表达式都可以转为与非的形式

例如：

$$F=A+B=\overline{\overline{A+B}}=\overline{\bar A\cdot \bar B}$$

得到与非表达式的方式：

1. 将表达式转换成与或表达式
2. 对该与或表达式两次取反
3. 将内层的取反进行取反运算

# 或非表达式

任何逻辑表达式都可以转为或非的形式

例如：

$$F=AB=\overline{\overline{AB}}=\overline{\bar A+\bar B}$$

得到或非表达式的方式：

1. 将表达式转换成或与表达式
2. 对该或与表达式两次取反
3. 将内层的取反进行取反运算

# 与或非表达式

例如：

$$F(A,B,C)=\overline{\bar AB+C}$$

得到与或非表达式的方式：

1. 将表达式转换为或非表达式
2. 对各个或非项利用繁衍规则进行变换

例题：

# 标准形式

# 最大项与最小项

# 最小项

一个具有 $n$ 个变量的函数的与项包含 $n$ 个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现且仅出现一次

性质：

• $n$ 个变量可以构成 $2^n$ 个最小项
• 任意一个最小项，其相应变量有且仅有一种取值使这个最小项的值为 1
• 相同变量构成的两个不同最小项相与为 0
• $n$ 个变量的全部最小项相或为 1
• $n$ 个变量构成的最小项有 $n$ 个相邻最小项（相邻最小项：除一个变量互为相反外其余变量均相同的最小项）

表示方式：

• $n$ 变量的最小项用 $m_i^n$ 表示，简写成 $m_i$
• 下标 $i$ 的取值规则：原变量用 1 表示，反变量用 0 表示，得到的二进制数就是 $i$ 的值

# 最大项

一个具有 $n$ 个变量的函数的或项包含 $n$ 个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现且仅出现一次

性质：

• $n$ 个变量可以构成 $2^n$ 个最大项
• 任意一个最大项，其相应变量有且仅有一种取值使这个最大项的值为 0
• 相同变量构成的两个不同最大项相或为 1
• $n$ 个变量的全部最大项相与为 0
• $n$ 个变量构成的最大项有 $n$ 个相邻最大项（相邻最大项：除一个变量互为相反外其余变量均相同的最大项）

表示方式：

• $n$ 变量的最大项用 $M_i^n$ 表示，简写成 $M_i$
• 下标 $i$ 的取值规则：原变量用 0 表示，反变量用 1 表示，得到的二进制数就是 $i$ 的值

# 最小项与最大项的关系

$$\overline{m_i}=M_i \ ,\overline{M_i}=m_i$$

# 标准与或表达式

由若干最小项相或构成的逻辑表达式

标准与或表达式是通过列举所有使函数输出为 1 的输入组合，并将这些组合对应的最小项相加（逻辑或）得到的

例如：

$$F(A,B,C)=\bar ABC+A\bar BC+AB\bar C+ABC$$

也可以表示成

$$F(A,B,C)=m_3+m_5+m_6+m_7=\sum m(3,5,6,7)$$

无关最小项

函数的值和输入变量的某些取值组合没有任何关系，那些使 函数值为任意值的变量取值 对应的最小项，用$d_i$ 表示

包含无关条件的逻辑函数的标准与或表达式写成：

$$F=\sum m_i+\sum d_i$$

或

$$\left\{\begin{matrix} F=\sum m(i) \\ 约束方程 \end{matrix}\right.$$

例如：

逻辑函数 $F(R,S,Q)=S+\bar RQ$，假如$R、S、Q$ 的取值组合 110 和 111 不可能出现，则 $F$ 的标准与或表达式可以写成

$$F =\sum m(1\sim 3)+\sum d(6,7)$$

通过列表：

R	S	Q	F(R,S,Q)
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0

显然只有 001, 010, 011 可以使 $F$ 等于 1，而 $F$ 的无关最小项是 110, 111 所以 $F$ 的标准与或表达式如上

又因为 110, 111 不能出现，所以约束条件为：$R、S$ 不能同时为 1，$F$ 的标准与或表达式也可以写成

$$\left\{\begin{matrix} F=\sum m(1\sim 3) \\ R\cdot S=0 \end{matrix}\right.$$

# 标准或与表达式

由若干最大项相与构成的逻辑表达式

例如：

$$F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+\bar C)(A+\bar B+C)(\bar A +B+\bar C)(\bar A+\bar B+\bar C)$$

也可以表示成

$$F(A,B,C)=M_0M_1M_2M_5M_7=\prod M(0\sim2,5,7)$$

无关最大项

无关最大项的编号和无关最小项一致

用$D_i$ 表示

所以前面约束条件为 $R\cdot S = 0$ 的逻辑函数 $F(R,S,Q)=S+\bar RQ$ 可以写成如下形式：

$$F(A,B,C)=\prod M(0,4,5)\cdot\prod D(6,7)$$

或者

$$\left\{\begin{matrix} F=\prod M(0,4,5) \\ \bar R+ \bar S=1 \end{matrix}\right.$$

# 两种标准表达式的关系

最小项之和表达式或最大项之积表达式都可以单独地表达任何一个逻辑函数

任意给定一个 $n$ 变量的逻辑函数，则它可以被表示成：

$$F=\sum_i m_i=\sum_i\overline M_i=\overline{\prod_i M_i}=\prod_{j\neq i}M_j$$

$j$ 是 $0\sim 2^n - 1$ 范围内除了最小项编号以外的最大项编号

# 逻辑函数表达式转换成标准表达式

# 代数转换法

求标准与或表达式

1. 转换成与或表达式
2. 反复利用$X=X\cdot(Y+\bar Y)$

例如：

求标准或与表达式

1. 转换成或与表达式
2. 反复利用$X=(X+\bar Y)(X+Y)$
3. 可以先求出标准与或表达式再根据互补关系求出标准或与表达式

# 真值表转换法

一个具有 $n$ 个输入变量的逻辑函数 $F$，假定其真值表中有 $m$ 组变量取值使 $F$ 的值为 1，$2^m - m$ 组变量取值使 $F$ 的值是 0

函数 $F$ 的最小表达式由 $m$ 组取值组合对应的 $m$ 个最小项相或组成；其最大项表达式由$2^m-m$ 组取值组合对应的 $2^m-m$ 个最大项相与组成

# 逻辑函数化简

# 代数化简法

# 最简与或表达式

与项项数最少，且每个与项中的变量个数最少

# 最简或与表达式

• 两次对偶法：
  1. 对或与表达式 $F$ 求对偶，得到与或表达式 $F'$
  2. 按与或表达式的化简方法求出 $F'$ 的最简与或表达式
  3. 对 $F'$ 再次取对偶
• 两次取反法
  1. 对或与表达式 $F$ 求反函数，得到与或表达式 $\bar F$
  2. 按与或表达式的化简方法求出 $\bar F$ 的最简与或表达式
  3. 对 $\bar F$ 再次取对偶

# 最简与非表达式

“求反加非”，将最简与或表达式转换成最简与非表达式

# 最简或非表达式

“求反加非”，将最简或与表达式转换成最简或非表达式

# 最简与或非表达式

1. 最简或与表达式两次取反，并去掉内层非号
2. 对反函数 $\bar F$ 的最简与或表达式再次取反

# 包含无关条件的逻辑函数

加进或舍弃某些无关最小项，取舍的原则是：使相邻最小项的个数（必须是 $2^i$ 个）最大化

# 卡诺图化简法

# 构成

$n$ 变量的卡诺图是由 $2^n$ 个小方格构成的平面方格图，每一个小方格与一个最小项对应，方格中相邻两个方格互为相邻最小项

相邻分为：

• 几何相邻：指两个小方格在几何位置上是相邻的
• 相对相邻：同一行的两端或者同一列两端的两个小方格所代表的最小项也是相邻最小项
• 重叠相邻：当变量数大于 4 时，对于变量 ABCDE 的情况，需要将 A = 1 的卡诺图看成重叠在 A = 0 的卡诺图之上，处于重叠位置的小方格也是相邻最小项

# 逻辑函数在卡诺图上的表示

# 标准与或表达式

在卡诺图上将表达式中最小项对应的小方格填 1，其余填 0

# 标准或与表达式

1. 在卡诺图上将表达式中最大项对应的小方格填 0，其余填 1
2. 将其变换成与或表达式

# 一般与或表达式

将与或表达式的与项在卡诺图中所覆盖区域内的所有小方格都填 1，其余都填 0

# 其他逻辑函数

转换成一般与或表达式或者标准与或表达式

# 包含无关条件的逻辑函数

对于无关最小项对应的小方格填 d 或 x

例如：

逻辑函数 $F(A,B,C)=\sum m(4,5,7)$ 的约束条件为 $A+B=1$，

求无关最小项：

1. 约束条件是 $A+B=1$，所以$A、B$ 中至少有一个为 1
2. 无关最小项，即不可能出现的最小项：$A、B$ 都是 0，有$\bar A\bar B C、\bar A\bar B\bar C$

对应的卡诺图为：

# 最小项合并规律

两个相邻最小项可以合并为一项并消去一个变量

卡诺图中相邻的 $2^m$ 个小方格含有 $m$ 个不同变量，$n-m$ 个相同变量，合并后可以消去 $m$ 个变量，卡诺图对应的最小项可用 $n-m$ 个变量的与项表示

1. $2^m$ 个小方格组成一个大格（可以是长方形、也可以是正方形）

2. $2^m$ 个小方格处在一行（一列）

3. $2^m$ 个小方格处在两个边行（边列）

4. $2^m$ 个小方格处在 4 个边角

5. $2^m$ 个小方格处在一行（一列）的两端

6. $2^m$ 个小方格处在相邻两行（两列）的两端

7. 单独一个方格

8. 整个卡诺图

归纳：

• 卡诺图中小方格的个数必须为 $2^m$ 个，$m\leq n$
• 卡诺图中的 $2^m$ 个小方格有一定的排列规律，它们含有 $m$ 个不同变量，$n-m$ 个相同变量
• 卡诺图中的 $2^m$ 个小方格对应的最小项可用 $n-m$ 个变量的 “与” 项表示

# 卡诺图化简逻辑函数的步骤

# 简与或表达式

• 卡诺圈尽量少$\Rightarrow$ 化简结果中与项个数少
• 允许重复圈小方格，但每个卡诺圈至少有一个新的小方格

# 最简或与表达式

• 当给定逻辑函数为一般与或表达式
  1. 做出 $F$ 的卡诺图
  2. 合并卡诺图上的 0 方格
  3. 求出反函数 $\bar F$ 的最简与或表达式
  4. 对 $\bar F$ 的最简与或表达式取反
• 当给定逻辑函数为或与表达式（两次取反法）
  1. 求出反函数 $\bar F$，并做出反函数的卡诺图
  2. 合并卡诺图上的 1 方格
  3. 求出反函数 $\bar F$ 的最简与或表达式
  4. 对 $\bar F$ 的最简与或表达式取反
• 当给定逻辑函数为或与表达式（两次对偶法）
  1. 求出 $F$ 的对偶函数 $F'$，并做出对偶函数 $F'$ 的卡诺图
  2. 合并卡诺图上的 1 方格
  3. 求出对偶函数 $F'$ 的最简与或表达式
  4. 对 $F'$ 的最简与或表达式取对偶

# 多输出逻辑函数的化简

1. 分别画出各个函数的卡诺图
2. 在各个卡诺图中寻找两个或两个以上函数的公共圈，对非公共部分仍然按一般卡诺图的全选原则进行圈选

# 包含无关条件的逻辑函数

对于有助于逻辑函数化简的无关项取 1，否则取 0