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# 法拉第电磁感应定律

感应电动势：单位1V=1Wb/s1V=1Wb/s

εi=−NdΦdt\varepsilon_i=-N\frac{d\Phi}{dt}

任一回路中：

Φ=∬SB⃗⋅dS⃗=∬SBcos⁡θ⋅dS\Phi=\iint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=\iint_S B\cos \theta \cdot dS

从t1→t2t_1\to t_2 时间内，通过回路导线任一截面的感应电量：

q=∫t1t2Idt=−NR∫Φ1Φ2dΦ=−NR(Φ2−Φ1)q=\int_{t_1}^{t_2}Idt=-\frac{N}{R}\int_{\Phi_1}^{\Phi_2}d\Phi=-\frac{N}{R}(\Phi_2-\Phi_1)

# 电源

提供非静电力，维持稳恒电流

正电荷在静电场力的作用下从 A 经过导线移到 B，并与 B 上的负电荷中和，直至板间电势差消失。要维持稳恒电流，须使正电荷从 B 经 BA 内移至 A 上，使
两板间有恒定的电势差。

非静电场：

Ek⃗=Fk⃗/q\vec{E_k}=\vec{F_k}/q

方向：电源内部由负极指向正极

电源电动势：单位正电荷从负极经电源内部移至正极时，非静电力做的功。

ε=Aq=∫内部−内部+Ek⃗⋅dl⃗\varepsilon=\frac{A}{q}=\int_{内部-}^{内部+}\vec{E_k}\cdot d\vec{l}

# 感应电动势

# 动生电动势

导体在磁场中运动时产生的感应电动势

εi=vBL\varepsilon_i=vBL

Fk⃗=−ev⃗×B⃗\vec{F_k}=-e\vec{v}\times \vec{B}

Ek⃗=v⃗×B⃗\vec{E_k}=\vec{v}\times\vec{B}

# 感生电动势

εi=−dΦdt=−ddt∬SB⃗⋅dS⃗=−∬S∂B⃗∂t⋅dS⃗\varepsilon_i=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}\iint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S}=-\iint_S \frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot d\vec{S}

考虑闭合回路：

∮LEi⃗⋅dl⃗=−∬S∂B⃗∂t⋅dS⃗\oint_L\vec{E_i}\cdot d\vec{l}=-\iint_S \frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot d\vec{S}

方向由楞次定律判断

# 感应电场

感应电场是产生感应电动势的机制，不是静电场

E静E_静为保守力场：

∮E静⃗⋅dl⃗=0\oint\vec{E_静}\cdot d\vec{l}=0

Ei⃗\vec{E_i} 是非保守力场：

∮Ei⃗⋅dl⃗≠0\oint\vec{E_i}\cdot d\vec{l}\neq 0

# 感应电场的计算

r<R时,Ei=−r2∂B∂tr<R时,E_i=-\frac{r}{2}\frac{\partial B}{\partial t}

r>R时,Ei=R22r∂B∂tr > R时,E_i=\frac{R^2}{2r}\frac{\partial B}{\partial t}

E⃗i\vec E_i 是涡旋场–非保守场，不能引入势函数，但是它对在场中的导体提供电动势

导体不闭合时→\rightarrow 使到体内电荷重新分布→\rightarrow 产生E静⃗→\vec{E_静}\rightarrow 到体内总电场达到平衡→\rightarrow 由于电荷的存在空间出现电势→ΔU=εi\rightarrow \Delta U=\varepsilon_i

# 自感与互感

# 互感

设L1L_1 的电流为i1i_1，在L2L_2 中产生的磁通量为Ψ12=N2B1S\Psi_12=N_2B_1S

互感电动势为：

εm=−dΨdt=−Mdidt−idMdt\varepsilon_m=-\frac{d\Psi}{dt}=-M\frac{di}{dt}-i\frac{dM}{dt}

MM 称为两线圈的互感系数，单位为亨利HH，1H=1Wb/A1H=1Wb/A

# 互感的计算

εm=−Mdidt或{Ψ12=Mi1Ψ21=Mi2\varepsilon_m =-M\frac{di}{dt}或\left\{\begin{matrix} \Psi_{12}=Mi_1 \\ \Psi_{21}=Mi_2 \end{matrix}\right.

M12=M21M_{12}=M_{21}

# 自感

一线圈通有单位电流时，通过线圈自身的全磁通等于该线圈的自感系数。

全磁通：

Ψ=Li\Psi = Li

自感系数LL：

L=ΨiL=\frac{\Psi}{i}

取决于回路的大小、形状、匝数以及μ\mu

εL∝L{L大，εL大→阻碍电路变化的阻力大L小，εL小→阻碍电路变化的阻力小\varepsilon_L\propto L\left\{\begin{matrix} L大，\varepsilon_L大\rightarrow 阻碍电路变化的阻力大 \\ L小，\varepsilon_L小\rightarrow 阻碍电路变化的阻力小 \end{matrix}\right.

# 自感的计算

L=Ψi=μn2VL=\frac{\Psi}{i}=\mu n^2 V

M=μn1n2VM=\mu n_1n_2 V

理想耦合：两线圈紧密缠绕，彼此磁场完全穿过，无漏磁

M=L1L2M=\sqrt{L_1L_2}

当有漏磁时：

M=kL1L2M=k\sqrt{L_1L_2}

# 应用

顺接：磁场彼此加强，自感电动势和互感电动势同向

ε=ε1+ε2+ε12+ε21=−L1didt−L2didt−Mdidt−Mdidt\varepsilon=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_{12}+\varepsilon_{21} =-L_1\frac{di}{dt}-L_2\frac{di}{dt}-M\frac{di}{dt}-M\frac{di}{dt}

L=L1+L2+2ML=L_1+L_2+2M

反接：磁场彼此减弱，自感电动势和互感电动势反向

∣ε∣=∣ε1+ε2∣−∣ε12+ε21∣|\varepsilon|=|\varepsilon_1+\varepsilon_2|-|\varepsilon{12}+\varepsilon{21}|

L=L1+L2−2ML=L_1+L_2-2M

# LR 电路

$$ \varepsilon_L-iR+\varepsilon=0 $$

ε−Ldidt=iR\varepsilon-L\frac{di}{dt}=iR

didt+RLi=εL\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{\varepsilon}{L}

t=0时,i=0→i=εR+Ce−Rt/L=εR(1−e−Rt/L)t=0时,i=0\rightarrow i=\frac{\varepsilon}{R}+Ce^{-Rt/L}=\frac{\varepsilon}{R}(1-e^{-Rt/L})

$$ \varepsilon_L-iR=0 $$

−Ldidt=iR-L\frac{di}{dt}=iR

t=0时,i=I→i=εRe−Rt/Lt=0时,i=I\rightarrow i=\frac{\varepsilon}{R}e^{-Rt/L}

LR\frac{L}{R} 称为电路的时间常数

# 磁场的能量

# 自感储存磁能

电容器充电后就储存了电场能量：

We=12CU2W_e=\frac{1}{2}CU^2

电流增加didi，电源克服εL\varepsilon_L 做功为dAdA

Wm=A=12LI2W_m=A=\frac{1}{2}LI^2

# 磁能与磁能密度

通有电流II 的长直螺线管储存的磁能为：

Wm=B22μ0VW_m=\frac{B^2}{2\mu_0}V

磁能密度：

wm=WmV=B22μ0=12B⃗⋅H⃗w_m=\frac{W_m}{V}=\frac{B^2}{2\mu_0}=\frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}

其中,H⃗=B⃗μ0其中,\vec{H}=\frac{\vec B}{\mu_0}

# 麦克斯韦方程组

静电场：静止电荷激发

∮SD静⃗⋅dS⃗=∑S内q0,D⃗=εE⃗\oint_S\vec{D_静}\cdot d\vec{S}=\sum_{S_内}q_0,\vec{D}=\varepsilon\vec{E}

∮LE静⃗⋅dl⃗=0\oint_{L}\vec{E_静}\cdot d\vec{l}=0

稳恒磁场：恒定电流激发

∮SB⃗⋅dS⃗=0\oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0

∮LH⃗⋅dl⃗=∑L套连Ii\oint_L\vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum_{L套连}I_i

非稳恒磁场：变化的磁场激发

∮LEi⃗⋅dS⃗=0\oint_{L}\vec{E_i}\cdot d\vec{S}=0

∮C2Ei⃗⋅dl⃗=−∬S∂B⃗∂t⋅dS⃗\oint_{C_2}\vec{E_i}\cdot d\vec{l}=-\iint_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}

# 位移电流

安培环路定理：

∮LH⃗⋅dl⃗=∑l=∫Sj⃗⋅dS⃗\oint_L\vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum l=\int_S\vec{j}\cdot d\vec{S}

j⃗\vec{j} 是穿过以闭合回路LL 为边界的任意曲面SS 上的传到电流的电流密度

以LL 为边界取两个不同的曲面s1s_1 和s2s_2，由于恒定情况下电流是连续的，通过这两个曲面的电流相等，即

∫S1j⃗⋅dS⃗=∫S2j⃗⋅dS⃗\int_{S_1}\vec{j}\cdot d\vec{S}=\int_{S_2}\vec{j}\cdot d\vec{S}

只考虑电容的左极板，取s1s_1 和s2s_2 组成的高斯面：

单位时间内电荷的增量=进来的电荷流量−出去的电荷流量单位时间内电荷的增量 = 进来的电荷流量-出去的电荷流量

dqdt=−∬S1j⃗⋅dS⃗−∬S2j⃗⋅dS⃗−−①\frac{dq}{dt}=-\iint_{S_1}\vec{j}\cdot d\vec{S}-\iint_{S_2}\vec{j}\cdot d\vec{S}--①

∮SD⃗⋅dS⃗=∑q\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q

ddtq=ddt∮SD⃗⋅dS⃗=∮S∂D⃗∂t⋅dS⃗−−②\frac{d}{dt}q=\frac{d}{dt}\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S}=\oint_S\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{S}--②

由①②得：

−∮Sj⃗⋅dS⃗=∮S∂D⃗∂t⋅dS⃗-\oint_S\vec{j}\cdot d\vec{S}=\oint_S\frac{\partial{\vec D}}{\partial t}\cdot d\vec{S}

⇒∮S(j⃗+∂D⃗∂t)⋅dS⃗=0\Rightarrow \oint_S(\vec{j}+\frac{\partial{\vec D}}{\partial t})\cdot d\vec{S}=0

变化的电场可以等效地视为一种 “电流”，即位移电流

位移电流密度：

jD⃗=∂D⃗∂t=ε∂E⃗∂t\vec{j_D}=\frac{\partial \vec D}{\partial t}=\varepsilon\frac{\partial \vec E}{\partial t}

穿过空间任意曲面的位移电流为：

ID=∬SjD⃗⋅dS⃗=∬S∂D⃗∂t⋅dS⃗=ddt∮SD⃗⋅dS⃗=ddtΦDI_D=\iint_S\vec{j_D}\cdot d\vec S=\iint_S\frac{\partial \vec D}{\partial t}\cdot d\vec{S}=\frac{d}{dt}\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S}=\frac{d}{dt}\Phi_D

# 全电流

位移电流和传导电流的和

传导电流：

I=∬Sj⃗⋅dS⃗I=\iint_S\vec{j}\cdot d\vec S

位移电流：

ID=∬SjD⃗⋅dS⃗I_D=\iint_S\vec{j_D}\cdot d\vec{S}

全电流：

∮LH⃗⋅dl⃗=∬S(j⃗+∂D⃗∂t)⋅S⃗\oint_L\vec{H}\cdot d\vec{l}=\iint_S(\vec{j}+\frac{\partial{\vec D}}{\partial t})\cdot \vec{S}

考虑真空

B⃗=μ0H⃗,D⃗=ε0E⃗\vec{B}=\mu_0\vec{H},\vec{D}=\varepsilon_0\vec E

如果仅存在位移电流，即仅有变化的电场：

∮LB⃗⋅dl⃗=μ0ε0ddt∬SE⃗⋅dS⃗\oint_L\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\iint_S\vec E\cdot d\vec S

而变化的磁场会激发电场：

∮LEi⃗⋅dl⃗=−∬S∂B⃗∂t⋅dS⃗\oint_{L}\vec{E_i}\cdot d\vec{l}=-\iint_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}

在导体中传导电流远大于位移电流

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