# 多维随机变量

联合分布函数：

$$F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)$$

边缘分布函数：

$$F_X(x) = F(x,+\infty)$$

$$F_Y(y) =F(+\infty,y)$$

# 离散型

当$p_{i\cdot}\neq0$ 或$p_{\cdot j}\neq0$ 时我们可以由条件概率的乘积公式计算p_

# 连续型

若存在二元非负函数$f(x,y)$ 使得二维随机变量$(X,Y)$ 的分布函数

$$F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^yf(u,v)dudv$$

则称$(X,Y)$ 为一二维连续型随机变量，$f(x,y)$ 为$(X,Y)$ 的联合概率密度

边缘概率密度：

$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$$

$$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$$

# 常用二维连续型随机变量

# 二维均匀分布$(X,Y)\sim U(D)$

若$D\subset R^2$，且面积$0<m(D)<+\infty$，则称具有概率密度

$$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 1/m(D) &(x,y)\in D \\ 0&(x,y)\not\in D \end{matrix}\right.$$

多维均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀分布

# 二维正态分布$(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$

密度：

$$f(x) = \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1 - \rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1 - \rho^2)} \left( \frac{(x - \mu_1)^2}{\sigma_1^2} - \frac{2\rho (x - \mu_1)(y - \mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2} + \frac{(y - \mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right)\right)$$

边缘分布：

$$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$$

$$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$$

多维正态分布的边缘分布仍为正态分布

# 条件分布

# 离散型

直接用条件概率求解即可

# 连续型

已知$X=x$ 时 Y 的条件概率密度：

$$f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$$

全概率公式：

$$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f(y|x)dx$$

$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_Y(y)f(x|y)dy$$

若$(x,y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_1^2,\rho)$，则在已知$Y=y$ 的条件下，X 服从正态分布

$$N(\mu_1+\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\rho(x-\mu_1),(1-\rho^2)\sigma_2^2)$$

# 随机变量的独立性

1. 若$(X_1,X_2,...,X_n)$ 为连续型随机变量，则$X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立当且仅当

   $$f(x_1,x_2,...,x_n)=\prod_{i=1}^{n}f_{X_i}(x_i)$$

2. 若$X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立，则对于 n 个函数$g_1,g_2,...,g_n$，$g_1(X_1),g_2(X_2),...,g_n(X_n)$ 相互独立

对于二维正态分布$(x,y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_1^2,\rho)$，$X,Y$ 独立的充分必要条件是$\rho=0$

# 多维随机变量函数的分布

# 离散型

直接计算其分布列即可

实例

$X,Y$ 独立，$X\sim B(m,p)$，$Y\sim B(n,p)$，则

$$X+Y\sim(m+n,p)$$

# 连续型

先求分布函数，如果 Y 为一连续随机变量，则求导得其概率密度

# 和的分布

设$(X,Y)$ 的联合密度为$f(x,y)$，$Z=X+Y$，积分区域为$x + y\leq z$，则 Z 的分布函数为

$$F_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}dy\int_{-\infty}^{z-y}f(x,y)dx$$

概率密度：

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy$$

若$X,Y$ 独立

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy$$

实例

若$X_1,...,X_n$ 相互独立，且$X_i\sim N(\,u_i,\sigma_i^2)$，则

$$\sum_{i=1}^{n}a_iX_i\sim N(\sum_{i=1}^{n}a_i\mu_i,\sum_{i=1}^{n}a_i^2\sigma_i^2)$$

X_1-X_2\sim N(\mu_1-\mu_2,\sigma_1^2{\color\red{+}}\sigma_2^2)

$X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2)$

$$X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)$$

# 商的分布

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f(yz, y)dy$$

# 最大最小值分布