一阶微分方程

分离变量

齐次方程解法

形如 \[ y'=f(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c2}) \] 若\(c1=c2=0\)，就是齐次方程

若\(c1,c2\)至少有一个不等于0：

\(a1b1\neq a2b2\)，设\(x=u+a,y=v+b\)，化成 \[ \frac{dv}{du}=f(\frac{a1u+b1v}{a2u+b2v}) \]
\(a1b1=a2b2\)，设\(a1=ka2,b1=kb2,u=a2x+b2y\)，化成 \[ \frac{du}{dx}=a2+b2f(\frac{ku+c1}{u+c2}) \]

全微分方程

积分因子

对于微分方程 \[ Pdx+Qdy=0 \] 若存在\(\mu(x)\)使\(\mu Pdx+\mu Qdy=0\)为全微分方程，则\(\mu\)为原方程的积分因子

若\(\frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})\)只依赖于x，则 \[ \ln \mu =\int\frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})dx \] 若\(\frac{1}{P}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\)只依赖于x，则 \[ \ln \mu =\int\frac{1}{P}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dx \]