# 一阶微分方程

# 分离变量

# 齐次方程解法

形如

$$y'=f(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c2})$$

若$c1=c2=0$，就是齐次方程

若$c1,c2$ 至少有一个不等于 0：

1. $a1b1\neq a2b2$，设$x=u+a,y=v+b$，化成

   $$\frac{dv}{du}=f(\frac{a1u+b1v}{a2u+b2v})$$

2. $a1b1=a2b2$，设$a1=ka2,b1=kb2,u=a2x+b2y$，化成

   $$\frac{du}{dx}=a2+b2f(\frac{ku+c1}{u+c2})$$

# 全微分方程

# 积分因子

对于微分方程

$$Pdx+Qdy=0$$

若存在$\mu(x)$ 使$\mu Pdx+\mu Qdy=0$ 为全微分方程，则$\mu$ 为原方程的积分因子

若$\frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})$ 只依赖于 x，则

$$\ln \mu =\int\frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})dx$$

若$\frac{1}{P}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$ 只依赖于 x，则

$$\ln \mu =\int\frac{1}{P}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dx$$

# 高阶微分方程

# Euler 方程