# 常用极限

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1,\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1(a>0)$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^ n+b^n}=max(a,b)$$

$$\lim\limits_{n\to0}(\frac{a^ n+b^n+c^n}{3})^{\frac{1}{n}}=abc^{\frac{1}{3}}$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$$

# 等价无穷小

$$a^u-1\sim u\ln a$$

$$(1+u)^a-1\sim au$$

# 三角公式

积化和：

$$\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A + B) + \sin(A - B))$$

$$\cos A \sin B = \frac{1}{2} (\sin(A + B) - \sin(A - B))$$

$$\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A + B) + \cos(A - B))$$

$$\sin A \sin B = \frac{1}{2} (\cos(A - B) - \cos(A + B))$$

差化积：

$$\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$$

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$$

$$\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$$

$$\cos A+\cos B=2\cos(2A+B)\cos(2A−B)$$

三角函数间的转换

$$1 + tan^2(x)=sec^2(x)$$

$$1+cot⁡^2(x)=csc⁡^2(x)$$

$$\arctan\frac{a-b}{1+ab}=\arctan a-\arctan b(a\geq 0, b\geq 0)$$

$$\arctan \frac{a+b}{1-ab}=\arctan a+\arctan b(0\leq a\leq 1,0\leq b\leq 1)$$

# 高阶导数

$$[\ln(1+x)]^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$$

$$(\frac{1}{ax+b})^{(n)}=\frac{(-1)^n a^n n!}{(ax+b)^{n+1}}$$

$$(sinx)^{(n)}=sin(x+n\cdot\frac{\pi}{2})$$

$$(cosx)^{(x)}=cos(x+n\cdot\frac{\pi}{2})$$

# Taylor 展开

$$e^x=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+o(x^n)$$

$$\ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k+o(x^n)$$

$$\sin x=\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+o(x^{2n})$$

$$\cos x=\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n+1})$$

$$\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^{n}x^k+o(x^n)$$

# 曲率

$y=f(x):$

$$K=\frac{|y''|}{\sqrt{[1+(y'^2)]^3}}$$

$x=f(t),y=g(t):$

$$K=\frac{|f'g''-g'f''|}{(f'^2+g'^2)^{\frac{3}{2}}}$$

$r=r(\theta):$

$$K=\frac{|r^2+2r'^2-rr''|}{(r^2+r'^2)^\frac{3}{2}}$$

曲率半径：R=\frac{1}

# 积分

原函数	积分后的函数
$\sec x$	$\ln	\sec x+\tan x	$
$\csc x$	$\ln	\csc x-\cot x	$
$\tan x$	$-\ln	\cos x	$
$\cot x$	$\ln	\sin x	$
\sqrt	\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}
\sqrt	$\fracx}{2}\sqrt{x【2\pm a^2】+\fraca【2】\ln	x+\sqrtx【2\pm a^2】	$
$\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$	$\ln	x+\sqrtx【2\pm a^2】	$
$\frac{1}{(1+x^2)^\frac{3}{2}}$	$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}xdx$	$\frac{(2n-1)}{(2n)}\cdot \frac{\pi}{2} $
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1}xdx$	\frac{(2n)!!}

# 微分

原函数	导函数
$\tan x$	$\sec^2 x$
$\cot x$	$-\csc x$
$\sec x$	$\sec x\tan x$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	\frac{1}

# 一阶线性微分方程

$$y'+P(x)y=Q(x)$$

$$y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C]$$

Bernoulii 方程：

$$y'+P(x)y=Q(x)y^n$$

左右同除$y^n$

# 二阶常系数微分方程

# 齐次

$$y''+ay'+by=0\\ \lambda^2+a\lambda+b=0$$

实根：两个不同的实根 $\lambda1$ 和 $\lambda2$，则通解为：

$$y= C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$$

重根：一个重根 $\lambda$，则通解为：

$$y=(C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}$$

复根：两个复根 $\lambda= \alpha \pm \beta i$，则通解为：

$$y=e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$$

# 非齐次

$$y'' +ay ′+by=f(x)$$

如果$f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$，则假设

$$y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$$

如果 $f(x)=e^{\alpha x}P_m(x)\cos\beta x$ 或$f(x)=e^{\alpha x}P_m(x)\sin\beta x$，则假设

$$y^*=x^ke^{\alpha x}[R_m(x)\cos\beta x+T_m(x)\sin \beta x]$$

# Maclaurin 展开

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+……+\frac{x^n}{n!}+……(-\infty <x < \infty)$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+……+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+……(-\infty <x < \infty)$$

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-……+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+……({\color{Tan} -1<x\leq 1{\color{Peach} {\color{Peach} } } } )$$

$$\frac{1}{x+1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n({\color{Tan} -1<x<1} )$$

$$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n({\color{Tan} -1<x\leq 1} )$$

# 积分的奇偶性 + 周期性

$$\int_0^\pi xf(sinx)dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx$$

$$\int_0^{\pi}f(sinx)dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx$$

\int_0^{\pi}f(cos)dx=\left\{\begin{array}{**lr**}2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx & &f偶\\0 & &f奇\end{array}\right.

$$\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx$$

若$f(x)$ 以 T 为周期，则 $$\int_a^{{a+T}f(x)dx=\int_0}Tf(x)dx$$