# 连续函数求积分

# 凑微分

# 换元法

# 倒代换

# 三角换元

$$\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin t$$

$$\sqrt{x^2+a^2}\Rightarrow x=a\tan t$$

$$\sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec t$$

1. 二次函数化成对称轴形式，利用$\cos x、\sin x$ 换元

3. $1+x^2$ 利用$\tan x$ 换元

4. 利用对称区间，偶倍奇零。遇到$\sin x,\cos x$ 利用$t = \frac{\pi}{2}-x$ 或$t=\pi-x$ 换元

5. 通用三角换元t=\tan\frac{x}

6. 巧用$\tan x,\sec x$ 的关系

# 巧用公式

$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$$

# 根式代换

1. 对于含有两个一次平方根式$\sqrt{x+\alpha}$ 与$\sqrt{x+\beta}(\alpha <\beta)$ 的积分，可设$\sqrt{x+\beta}=\lambda(t+\frac{1}{t}),\sqrt{x+\alpha}=\lambda(t-\frac{1}{t})$，平方相减得$\lambda$
2. 对于含有两个一次平方根式$\sqrt[m]{x+\alpha}$ 与$\sqrt[n]{x+\alpha}$ 的积分，可设t=\sqrt[k]

# 分部积分法

# 改变参数法

# 待定系数法

存在$e^x,sinx,cosx$ 等函数，要求原函数时可以用待定系数法

# 结伴法

$I_1,I_2$ 的两种不同线性组合可以积出来

# 回归法

# 拆项法

# 递推法

# Taylor 展开

# 利用定积分定义

# 奇偶性 + 周期性

$$\int_0^\pi xf(sinx)dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx$$

$$\int_0^{\pi}f(sinx)dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx$$

\int_0^{\pi}f(cos)dx=\left\{\begin{array}{**lr**}2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx & &f偶\\0 & &f奇\end{array}\right.

$$\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx$$

若$f(x)$ 以 T 为周期，则 $$\int_a^{{a+T}f(x)dx=\int_0}Tf(x)dx$$

# 分段函数求积分

# 广义积分

# 定积分典型问题

# 极限问题

# 积分等式的证明

# 积分不等式

微分法

构造新的函数，求导计算

中值定理应用

放缩

Cauchy 不等式

利用几何意义

积分中值定理

重积分法