中值问题

单中值问题

利用微分方程 + 罗尔定理

\[化成形式：f'(x)+P(x)f(x)=Q(x)\]

\[辅助函数：F(x)=f(x)e^{\int P(x)dx}-\int Q(x)e^{\int P(x)dx}\]

利用介值定理，凹凸性进行放缩判断范围

双中值问题

观察法，凑出辅助函数

设置双函数，运用拉格朗日中值定理

利用微分中值定理的几何性质进行分析，大胆假设

利用泰勒展开

出现二阶及以上的项，考虑用泰勒展开

三中值问题

运用两次中值定理

不等式问题

凹凸性

\[连续：凸函数\Leftrightarrow Jensen不等式，f(\sum\limits_{k=1}^{n}t_kx_k)\leq\sum\limits_{k=1}^{n}t_kf(x_k)\]

\[一阶可导：凸函数\Leftrightarrow f(x_2)\geq f(x_1)+f'(x_1)(x_2-x_1)\]

\[二阶可导：凸函数\Leftrightarrow f''(x)\geq 0\]

泰勒展开

题目给了范围\([a,b]\)：（根据已知哪一点的导数进行选择）

\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-1)^2+...\]

\[f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+\frac{1}{2}f''(b)(x-b)^2+...\]

\[f(a)=f(x)+f'(x)(a-x)+\frac{1}{2}f''(x)(a-x)^2+...\]

\[f(b)=f(x)+f'(x)(b-x)+\frac{1}{2}f''(x)(b-x)^2+...\]

题目未给范围或范围为\(\infty\)：

\[f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^2+...\]

\[f(x-h)=f(x)-f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^2+...\]

函数性态与方程的根

充分利用极值点、最值点的导数性质

以方程的根的形式表示函数