常用结论

\[H_n=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}=\ln n+\gamma+\varepsilon_n\sim \ln n\]

\[H_n=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+...+\frac{1}{n^{\alpha}}\sim \frac{1}{1-\alpha}n^{1-\alpha}\]

\[\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^pn},\sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n\ln n(\ln\ln n)^p},\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n^p}，仅当p>1时收敛\]

解题技巧

数列与级数的转换

数列\(\{x_n\}\)收敛\(\Leftrightarrow\)级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(x_{n+1}-x_n)\)收敛，且\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(x_{n+1}-x_n)\)

运用裂项

\[\arctan\frac{a-b}{1+ab}=\arctan a-\arctan b\]

\[\frac{n}{(2n+1)!!}=\frac{1}{2}(\frac{1}{(2n-1)!!}-\frac{1}{(2n+1)!!})\]

\[\ln\frac{n^3-1}{n^3+1}=\ln\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}=\ln\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}-\ln\frac{(n-1)n+1}{(n-1)n}\]

常数项级数的敛散性

\(\lim\limits_{n\to \infty}a_n = 0\)

判别法

\(\left\{Sn\right\}收敛\)

先大致判断是否收敛，再大胆放缩

注意级数的正负

利用积分估计

Abel-Dini

\[设正项级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n发散，S_n=u_1+u_2+...+u_n，则p>1时，级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{S_n^p}收敛；p\leq1时，级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{S_n^p}发散\]

\[设正项级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n收敛，S_n=u_1+u_2+...+u_n，则p<1时，级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{S_n^p}收敛；p\geq1时，级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{S_n^p}发散\]

证明：

应用：

Kummer判别法

Raabe判别法

\[设u_n>0,且n(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1)\to r,则\sum u_n,当r>1时收敛，r<1时发散\]

\[比较定理：正项级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n,\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n,若\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq\frac{v_{n+1}}{v_n}，则\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n收敛可得\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n收敛\]