CMC常用定理
Stolz
设数列\(\{a_n\}\)与\(\{b_n\}\)满足：
- （\(\frac{*}{\infty}\)适用）\(\{b_n\}\)严格单调递增，\(\lim\limits_{n\to \infty}b_n=+\infty\)
- （\(\frac{0}{0}\)适用）\(\{b_n\}\)严格单调递减，\(\lim\limits_{n\to \infty}b_n=0\)，\(\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0\)
\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=A\)（其中A可以是有限实数，也可以是\(+\infty\)或者\(-\infty\)，但不能是笼统的\(\infty\)），那么，\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=A\)
三角求和
\[2\sin \alpha\cos \beta =\sin({\alpha +\beta})+\sin(\alpha -\beta)\]
\[2\cos \alpha\sin \beta =\sin({\alpha +\beta})-\sin(\alpha -\beta)\]
\[2\sin \alpha\sin \beta =\cos({\alpha -\beta})-\cos(\alpha +\beta)\]
\[2\cos \alpha\cos \beta =\cos({\alpha +\beta})+\cos(\alpha -\beta)\]
\[\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\]
\[\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\]
\[\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\]
\[\cos A - \cos B =
-2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\]
Abel分布求和
记\(A_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\)，\(A_0=0\)，则\(\sum\limits_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n-\sum\limits_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_k)\)
伯努利不等式
\[当x_i(i=1,2,...,n)>-1，且符号相同时，(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)\geq 1+x_1+x_2+...+x_n\]
证明：
\[a_n=(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)-(1+x_1+x_2+...+x_n)\]
\[a_{n+1}-a_n=x_{n+1}[(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)-1]\]
\[若x_i>0,a_{n+1}>a_n,a_1=0，所以a_n>0，不等式成立\]
\[若-1<x_1<0,(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)-1<0,a_{n+1}>a_n,a_1=0，所以a_n>0，不等式成立\]
琴生不等式
凸函数性质：
\[f(\lambda a+(1-\lambda)b)\leq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)\]
琴生不等式：（利用归纳法证明）
\[f(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n)\leq a_1f(x_1)+a_2f(x_2)+...+a_nf(x_n)\]
特别的：
\[f(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n})\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}\]
定理：
若函数\(f(x)\)是\([a,b]\)上的可积函数，且\(m\leq f(x)\leq M\)，又\(g(x)\)是上的连续下凸函数，则有
\[g(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx)\leq\frac{1}{b-a}\int_a^bg(f(x))dx\]
young不等式
若\(a,b>0,p,q>0\)且\(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)，则有\(ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\)
证明：
\[因为f(x)=\ln x是凸函数，所以\ln(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})\geq \frac{1}{p}\ln a^p+\frac{1}{q}\ln b^q=\ln ab\]
Cauchy-Schwarz不等式
二维离散形式
\[(ac+bd)^2\leq (a^2+b^2)(c^2+d^2)\]
定理1
\[(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\leq \int_a^bf^2(x)dx\cdot \int_a^bg^2(x)dx\]
证明：（判别式法）
\[(f(x)+\lambda g(x))^2\geq 0\]
\[\Delta \geq 0\]
推论1
设二元函数\(f(x,y),g(x,y)\)在平面区域D上可积，则成立不等式
\[(\iint\limits_D f(x,y)g(x,y)dxdy)^2\leq \iint\limits_D f^2(x,y)dxdy\cdot \iint\limits_Dg^2(x, y)dxdy\]
等号成立的条件为存在常数k使得\(f(x,y)=kg(x,y)\)
推论2
设二元函数\(f(x,y),g(x,y)\)在区间\([a,b]\)上连续，且连续函数\(h(x)\geq 0\)连续，则成立不等式
\[(\int_a^b f(x)g(x)h(x)dx)^2\leq \int_a^b f^2(x)h(x)dx\cdot \int _a^b g^2(x)h(x)dx\]
等号成立的条件为存在常数k使得\(f(x,y)=kg(x,y)\)
推论3
设二元函数\(f(x,y)\)在平面区域D内非负可积，且可积函数\(g(x,y)\geq m>0\)，则不等式
\[(\iint\limits_Df(x,y)dxdy)^2\leq\iint\limits_Df(x,y)g(x,y)dxdy\cdot \iint\limits_D\frac{f(x,y)}{g(x,y)}dxdy\]
或者
\[(\iint\limits_Df(x,y)dxdy)^2\leq\iint\limits_Dg(x,y)dxdy\cdot \iint\limits_D\frac{f^2(x,y)}{g(x,y)}dxdy\]
推论4（Holder不等式）
设函数\(f(x),g(x)\)在区间\([a,b]\)上可积，则有
\[\int_a^bf(x)g(x)dx\leq (\int_a^bf^p(x)dx)^{\frac{1}{p}}(\int_a^bg^q(x)dx)^{\frac{1}{q}}\]
其中\(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,p,q>0\)
证明：利用young不等式
推论5（Minkovski不等式）
设函数\(f(x),g(x)\)在区间\([a,b]\)上可积，\(p\geq 1\)，则有
\[(\int_a^b[f(x)+g(x)]^pdx)^{\frac{1}{p}}\leq (\int_a^bf^p(x)dx)^{\frac{1}{p}}+(\int_a^bg^p(x)dx)^\frac{1}{p}\]
