# 常用结论

$H_n=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}=\ln n+\gamma+\varepsilon_n\sim \ln n$

$H_n=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+...+\frac{1}{n^{\alpha}}\sim \frac{1}{1-\alpha}n^{1-\alpha}$

$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^pn},\sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n\ln n(\ln\ln n)^p},\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n^p}，仅当p>1时收敛$

# 解题技巧

# 数列与级数的转换

数列 $\{x_n\}$ 收敛 $\Leftrightarrow$ 级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(x_{n+1}-x_n)$ 收敛，且 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(x_{n+1}-x_n)$

# 运用裂项

$\arctan\frac{a-b}{1+ab}=\arctan a-\arctan b$

$\frac{n}{(2n+1)!!}=\frac{1}{2}(\frac{1}{(2n-1)!!}-\frac{1}{(2n+1)!!})$

$\ln\frac{n^3-1}{n^3+1}=\ln\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}=\ln\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}-\ln\frac{(n-1)n+1}{(n-1)n}$

# 常数项级数的敛散性

$\lim\limits_{n\to \infty}a_n = 0$

判别法

$\left\{Sn\right\}收敛$

先大致判断是否收敛，再大胆放缩

注意级数的正负

# 利用积分估计

# Abel-Dini

$设正项级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n发散，S_n=u_1+u_2+...+u_n，则p>1时，级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{S_n^p}收敛；p\leq1时，级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{S_n^p}发散$

$设正项级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n收敛，S_n=u_1+u_2+...+u_n，则p<1时，级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{S_n^p}收敛；p\geq1时，级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{S_n^p}发散$

证明：

应用：

# Kummer 判别法

# Raabe 判别法

$设u_n>0,且n(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1)\to r,则\sum u_n,当r>1时收敛，r<1时发散$

$比较定理：正项级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n,\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n,若\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq\frac{v_{n+1}}{v_n}，则\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n收敛可得\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n收敛$