# Stolz

设数列$\{a_n\}$ 与$\{b_n\}$ 满足：

1. （$\frac{*}{\infty}$ 适用）$\{b_n\}$ 严格单调递增，$\lim\limits_{n\to \infty}b_n=+\infty$
2. （$\frac{0}{0}$ 适用）$\{b_n\}$ 严格单调递减，$\lim\limits_{n\to \infty}b_n=0$，$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=A$（其中 A 可以是有限实数，也可以是$+\infty$ 或者$-\infty$，但不能是笼统的$\infty$），那么，$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=A$

# 三角求和

$$2\sin \alpha\cos \beta =\sin({\alpha +\beta})+\sin(\alpha -\beta)$$

$$2\cos \alpha\sin \beta =\sin({\alpha +\beta})-\sin(\alpha -\beta)$$

$$2\sin \alpha\sin \beta =\cos({\alpha -\beta})-\cos(\alpha +\beta)$$

$$2\cos \alpha\cos \beta =\cos({\alpha +\beta})+\cos(\alpha -\beta)$$

$$\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

# Abel 分布求和

记$A_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$，$A_0=0$，则$\sum\limits_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n-\sum\limits_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_k)$

# 伯努利不等式

$$当x_i(i=1,2,...,n)>-1，且符号相同时，(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)\geq 1+x_1+x_2+...+x_n$$

证明：

$$a_n=(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)-(1+x_1+x_2+...+x_n)$$

$$a_{n+1}-a_n=x_{n+1}[(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)-1]$$

$$若x_i>0,a_{n+1}>a_n,a_1=0，所以a_n>0，不等式成立$$

$$若-1<x_1<0,(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)-1<0,a_{n+1}>a_n,a_1=0，所以a_n>0，不等式成立$$

# 琴生不等式

凸函数性质：

$$f(\lambda a+(1-\lambda)b)\leq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)$$

琴生不等式：（利用归纳法证明）

$$f(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n)\leq a_1f(x_1)+a_2f(x_2)+...+a_nf(x_n)$$

特别的：

$$f(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n})\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}$$

# 定理：

若函数$f(x)$ 是$[a,b]$ 上的可积函数，且$m\leq f(x)\leq M$，又$g(x)$ 是上的连续下凸函数，则有

$$g(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx)\leq\frac{1}{b-a}\int_a^bg(f(x))dx$$

# young 不等式

若$a,b>0,p,q>0$ 且$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，则有ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}

证明：

$$因为f(x)=\ln x是凸函数，所以\ln(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})\geq \frac{1}{p}\ln a^p+\frac{1}{q}\ln b^q=\ln ab$$

# Cauchy-Schwarz 不等式

# 二维离散形式

$$(ac+bd)^2\leq (a^2+b^2)(c^2+d^2)$$

# 定理 1

$$(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\leq \int_a^bf^2(x)dx\cdot \int_a^bg^2(x)dx$$

证明：（判别式法）

$$(f(x)+\lambda g(x))^2\geq 0$$

$$\Delta \geq 0$$

# 推论 1

设二元函数$f(x,y),g(x,y)$ 在平面区域 D 上可积，则成立不等式

$$(\iint\limits_D f(x,y)g(x,y)dxdy)^2\leq \iint\limits_D f^2(x,y)dxdy\cdot \iint\limits_Dg^2(x, y)dxdy$$

等号成立的条件为存在常数 k 使得$f(x,y)=kg(x,y)$

# 推论 2

设二元函数$f(x,y),g(x,y)$ 在区间$[a,b]$ 上连续，且连续函数$h(x)\geq 0$ 连续，则成立不等式

$$(\int_a^b f(x)g(x)h(x)dx)^2\leq \int_a^b f^2(x)h(x)dx\cdot \int _a^b g^2(x)h(x)dx$$

等号成立的条件为存在常数 k 使得$f(x,y)=kg(x,y)$

# 推论 3

设二元函数$f(x,y)$ 在平面区域 D 内非负可积，且可积函数$g(x,y)\geq m>0$，则不等式

$$(\iint\limits_Df(x,y)dxdy)^2\leq\iint\limits_Df(x,y)g(x,y)dxdy\cdot \iint\limits_D\frac{f(x,y)}{g(x,y)}dxdy$$

或者

$$(\iint\limits_Df(x,y)dxdy)^2\leq\iint\limits_Dg(x,y)dxdy\cdot \iint\limits_D\frac{f^2(x,y)}{g(x,y)}dxdy$$

# 推论 4（Holder 不等式）

设函数$f(x),g(x)$ 在区间$[a,b]$ 上可积，则有

$$\int_a^bf(x)g(x)dx\leq (\int_a^bf^p(x)dx)^{\frac{1}{p}}(\int_a^bg^q(x)dx)^{\frac{1}{q}}$$

其中$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,p,q>0$

证明：利用 young 不等式

# 推论 5（Minkovski 不等式）

设函数$f(x),g(x)$ 在区间$[a,b]$ 上可积，$p\geq 1$，则有

$$(\int_a^b[f(x)+g(x)]^pdx)^{\frac{1}{p}}\leq (\int_a^bf^p(x)dx)^{\frac{1}{p}}+(\int_a^bg^p(x)dx)^\frac{1}{p}$$