# 曲线与 x 轴所围的面积

抽出微元$\Longrightarrow$，其中$f(x+dx)=f(x)+f'(x)dx$

$\Rightarrow dS=\frac{1}{2}[f(x)+f(x+dx)]dx = \frac{1}{2}[2f(x)+f'(x)dx]dx$

$\Rightarrow dS \sim f(x)dx$

# 曲线绕 x 轴一周所围图形的侧面积

求出微元$\Longrightarrow ds = \sqrt{1+f'(x)}dx$

圆台面积：$\pi (r_1+r_2) l $

$\Rightarrow d_{S\text{侧}}=\pi [f(x)+f(x+dx)]ds=\pi [2f(x)+f'(x)dx]\sqrt{1+f'(x)^2}dx$

$\Rightarrow d_{s\text{侧}}\sim 2\pi f(x)\color{red}{ds}$ $\sim 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx$

# 曲线绕 x 轴一周所围图形的体积

圆台体积公式：$\frac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$

$\Rightarrow dV_x=\frac{1}{3}\pi dx[f^2(x)+f(x)[f(x)+f'(x)dx]+[f(x)+f'(x)]^2]$

$\Rightarrow dV_x\sim \pi f^2(x)\color{red}$