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# 数项级数

# 概念

数项级数： 给定一列实数a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_n，称a1+a2+...+an+...a_1+a_2+...+a_n+... 为一个数项级数，简称级数

** 部分和：** 称Sn=∑k=1k=nakS_n=\sum\limits_{k=1}^{k=n}a_k 为级数的部分和

级数的和： S=lim⁡n→∞SnS=\lim\limits_{n \to \infty}S_n，s 是级数的和，S=∑n=1∞anS=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n

余项： Rn=S−Sn=∑k=n+1∞akR_n=S-S_n=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}a_k

# 敛散性的定义

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  1. 当 S 有限的时候，级数收敛
  2. 若级数收敛，则lim⁡n→∞an=0\lim\limits_{n \to \infty}a_n=0
    • 只要级数收敛，则通项趋于零；通项不趋于零时，级数必发散 (eg:∑an收敛⇒∑n=1∞11+∣an∣发散)(eg:\sum a_n收敛\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+|a_n|}发散)
    • 通项趋于零的级数不一定都收敛 (eg: ∑n=1∞1np)(eg:\, \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n_p})
    • 发散的级数通项不一定不趋于零(eg:∑n=1∞1n)(eg:\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n})​
  3. ∑an,∑bn\sum a_n,\sum b_n 收敛⇒\Rightarrow∑(an+bn)\sum (a_n +b_n) 收敛
  4. ∑an\sum a_n 收敛，∑bn\sum b_n 发散⇒\Rightarrow∑(an+bn)\sum(a_n+b_n) 发散

# 常见级数

  • 几何级数：∑n=0∞rn=1+r+r2+...\sum\limits_{n=0}^{\infty}r^n = 1+r+r^2+...

    1. ∣r∣<1\left|r \right| < 1，收敛，且和为\frac{1}
    2. ∣r∣≥1|r|\geq1，发散

  • p - 级数：∑n=1∞1np=1+12p+13p+...\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+...​

    1. p>1p>1，收敛
    2. p≤1p\leq1，发散

  • 调和级数：∑n=1∞1n=1+12+13+...\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...​

    1. 发散

# 正项级数

形式：an≥0a_n \geq 0​

# 判别法

  1. An=∑k=1nakA_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k 随 n 单调增加，因此∑an收敛⇔{An}极限存在⇔{An}有界\sum a_n收敛\Leftrightarrow \left\{A_n\right\}极限存在\Leftrightarrow \left\{A_n\right\}有界​

  2. 一般形式的比较判别法

    若从某项起有an≤bna_n\leq b_n

    • 当∑bn\sum b_n 收敛时，∑an\sum a_n 收敛

    • 当∑an\sum a_n 发散时，∑bn\sum b_n 发散

  3. 极限形式的比较判别法

    若bn≠0,lim⁡n→∞an/bn=lb_n\neq 0,\lim\limits_{n\to \infty}a_n/b_n=l

    • 0<l<+∞0<l<+\infty 时，∑an与∑bn\sum a_n与\sum b_n 敛散性相同

    • l=0l=0 时，∑bn收敛，∑an收敛\sum b_n收敛，\sum a_n收敛

    • l=+∞l=+\infty 时，∑bn发散，∑an发散\sum b_n发散，\sum a_n发散​

  4. 比值判别法 -- 适用于连乘

    若lim⁡n→∞an+1an=l\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l，则级数∑an\sum a_n

    • l<1l<1 时，收敛
    • l>1l>1 时，发散

  5. 根值判别法 -- 适用于 n 次幂

    若lim⁡n→∞ann=l\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=l，则级数∑an\sum a_n

    • l<1l<1 时，收敛
    • l>1l>1​时，发散

  6. 积分判别法

    设f(x)f(x) 在区间[1,+∞)[1,+\infty) 上非负且单调减，an=f(n)a_n=f(n) (n=1,2,3,...)(n=1,2,3,...)，则∑an\sum a_n 与∫1+∞f(x)dx\int_1^{+\infty}f(x)dx 敛散性相同

  7. 比阶判别法

    设∑an\sum a_n 是一正项级数，lim⁡npan=l\lim n^pa_n=l，则级数∑an\sum a_n

    • p>1且0≤l<+∞p>1且0\leq l<+\infty 时，收敛
    • p≤1且0<l≤+∞p\leq 1且0<l\leq +\infty 时，发散

# 变号级数

形式：∑n=1∞(−1)n−1an，其中an>0\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n，其中a_n >0

# 判别法

Leibniz 判别法：若{an}\left\{a_n\right\} 单调减且收敛于零，则级数收敛，在完全单调减的条件下，其和S≤a1S\leq a_1，余项RnR_n 满足|R_n|\leq a_

# 绝对收敛与相对收敛

绝对收敛：∑n=1∞∣an∣收敛\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|收敛

条件收敛：∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n 收敛，但∑n=1∞∣an∣\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n| 发散

# 函数项级数

# 概念

函数项级数：定义域 I 上的一列函数un(x)u_n(x)，称∑n=1∞un(x)=u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+... 为 I 上的一个函数项级数

收敛点：x0∈Ix_0\in I，数项级数∑n=1∞un(x0)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x_0) 收敛，则称x0x_0 为级数的收敛点

收敛域：全体收敛点构成的集合 B 为级数的收敛域

和函数：对每一个x∈Bx\in B，以S(x)S(x) 记级数的和，是定义于收敛域 B 上的函数

部分和：Sn(x)=∑k=1nuk(x)S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k(x) 是级数的部分和，定义于 I 上的函数

余项：Rn(x)=S(x)−Sn(x)=∑k=n+1∞uk(x)R_n(x)=S(x)-S_n(x)=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}u_k(x)，仅在集合 B 上有定义

# 一致收敛

设级数在点集 A 上收敛，若∀ε>0,∃N>0,∀n≥N,∀x∈A:∣Rn(x)∣<ε\forall \varepsilon>0,\exist N>0,\forall n\geq N,\forall x\in A:|R_n(x)|<\varepsilon，则说级数在 A 上一致连续

# Weierstrass 判别法

若存在一个收敛的正项级数∑bn\sum b_n，使得∣un(x)∣≤bn|u_n(x)|\leq b_n，则级数在 A 上绝对收敛且一致收敛

# 和函数的分析性质

在一致收敛条件下，有：

  1. “逐项求导”：(∑n=1∞un(x))′=∑n=1∞un′(x)(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x))'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n'(x)
  2. “逐项积分”：∫αβ∑n=1∞un(x)dx=∑n=1∞∫αβun(x)dx\int_{\alpha}^{\beta}\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)dx=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_{\alpha}^{\beta}u_n(x)dx

# 幂函数

# 概念

幂级数：

  1. ∑n=0∞anxn=a0+a1x+...+anxn+...\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+...+a_nx^n+...

  2. ∑n=0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+...+an(x−x0)n+...\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+...+a_n(x-x_0)^n+...