数项级数

概念

数项级数： 给定一列实数\(a_1,a_2,...,a_n\)，称\(a_1+a_2+...+a_n+...\)为一个数项级数，简称级数

部分和：称\(S_n=\sum\limits_{k=1}^{k=n}a_k\)为级数的部分和

级数的和： \(S=\lim\limits_{n \to \infty}S_n\)，s是级数的和，\(S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\)

余项： \(R_n=S-S_n=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}a_k\)

\(\color{red}{改变级数的有限项，不影响其敛散性}\)

当S有限的时候，级数收敛
若级数收敛，则\(\lim\limits_{n \to \infty}a_n=0\)
- 只要级数收敛，则通项趋于零；通项不趋于零时，级数必发散 \((eg:\sum a_n收敛\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+|a_n|}发散)\)
- 通项趋于零的级数不一定都收敛 \((eg:\, \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n_p})\)
- 发散的级数通项不一定不趋于零\((eg:\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n})\)
\(\sum a_n,\sum b_n\)收敛\(\Rightarrow\)\(\sum (a_n +b_n)\)收敛
\(\sum a_n\)收敛，\(\sum b_n\)发散\(\Rightarrow\)\(\sum(a_n+b_n)\)发散

几何级数：\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}r^n = 1+r+r^2+...\)
1. \(\left|r \right| < 1\)，收敛，且和为\(\frac{1}{1-r}\)
2. \(|r|\geq1\)，发散
p-级数：\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+...\)
1. \(p>1\)，收敛
2. \(p\leq1\)，发散
调和级数：\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...\)
1. 发散

形式：\(a_n \geq 0\)

\(A_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\)随n单调增加，因此\(\sum a_n收敛\Leftrightarrow \left\{A_n\right\}极限存在\Leftrightarrow \left\{A_n\right\}有界\)
一般形式的比较判别法

若从某项起有\(a_n\leq b_n\)
- 当\(\sum b_n\)收敛时，\(\sum a_n\)收敛
- 当\(\sum a_n\)发散时，\(\sum b_n\)发散
极限形式的比较判别法

若\(b_n\neq 0,\lim\limits_{n\to \infty}a_n/b_n=l\)
- \(0<l<+\infty\)时，\(\sum a_n与\sum b_n\)敛散性相同
- \(l=0\)时，\(\sum b_n收敛，\sum a_n收敛\)
- \(l=+\infty\)时，\(\sum b_n发散，\sum a_n发散\)
比值判别法 --适用于连乘

若\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l\)，则级数\(\sum a_n\)
- \(l<1\)时，收敛
- \(l>1\)时，发散
根值判别法 --适用于n次幂

若\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=l\)，则级数\(\sum a_n\)
- \(l<1\)时，收敛
- \(l>1\)时，发散
积分判别法

设\(f(x)\)在区间\([1,+\infty)\)上非负且单调减，\(a_n=f(n)\) \((n=1,2,3,...)\)，则\(\sum a_n\)与\(\int_1^{+\infty}f(x)dx\)敛散性相同
比阶判别法

设\(\sum a_n\)是一正项级数，\(\lim n^pa_n=l\)，则级数\(\sum a_n\)
- \(p>1且0\leq l<+\infty\)时，收敛
- \(p\leq 1且0<l\leq +\infty\)时，发散

形式：\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n，其中a_n >0\)

Leibniz判别法：若\(\left\{a_n\right\}\)单调减且收敛于零，则级数收敛，在完全单调减的条件下，其和\(S\leq a_1\)，余项\(R_n\)满足\(|R_n|\leq a_{n+1}\)

绝对收敛：\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|收敛\)

条件收敛：\(\sum_\limits{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，但\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|\)发散

函数项级数：定义域I上的一列函数\(u_n(x)\)，称\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...\)为I上的一个函数项级数

收敛点：\(x_0\in I\)，数项级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x_0)\)收敛，则称\(x_0\)为级数的收敛点

收敛域：全体收敛点构成的集合B为级数的收敛域

和函数：对每一个\(x\in B\)，以\(S(x)\)记级数的和，是定义于收敛域B上的函数

部分和：\(S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k(x)\)是级数的部分和，定义于I上的函数

余项：\(R_n(x)=S(x)-S_n(x)=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}u_k(x)\)，仅在集合B上有定义

设级数在点集A上收敛，若\(\forall \varepsilon>0,\exist N>0,\forall n\geq N,\forall x\in A:|R_n(x)|<\varepsilon\)，则说级数在A上一致连续

若存在一个收敛的正项级数\(\sum b_n\)，使得\(|u_n(x)|\leq b_n\)，则级数在A上绝对收敛且一致收敛

在一致收敛条件下，有：

“逐项求导”：\((\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x))'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n'(x)\)
“逐项积分”：\(\int_{\alpha}^{\beta}\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)dx=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_{\alpha}^{\beta}u_n(x)dx\)

幂级数：