# 电荷和库仑定律

电子 e：$1.602 \times 10^{-19}C$

库仑定律：

库仑定律对运动的电荷不成立，因为会产生磁场；但是高斯定理对运动的电荷成立

$F=k\frac{q_1 q_2}{r^2}\vec{e_r}$，其中$k=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}=9\times 10^9, \varepsilon_0=8.8542=10^{-12}C^2/(N\cdot m^{-2})$​

# 静电场与电场强度

# 概念

电场强度：$E=\frac{F}{q_0}$，单位：$N/C或V/m$​

点电荷：E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0r^2}\vec

线电荷密度：$\lambda$ 面电荷密度：$\sigma$ 体电荷密度：$\rho$

$\color{red}$

# 各特殊模型产生的场强

1. 电偶极子

   电偶极子：两相隔一定距离的等量异号点电荷

   $\vec{l}$：负电荷到正电荷的矢量线段

   电偶极矩：\vec{p}=q\vec

   $E=-\frac{ql}{4\pi \varepsilon_0 (r^2 + l^2/4)^{\frac{3}{2}}}$，若$r\gg l$，$\color{forestgreen}{E=-\frac{ql}{4\pi \varepsilon_0r^3}}$

2. 均匀带电直线

   利用$dq=\lambda dy$ 进行积分

   无限长：\color{forestgreen}E=\frac{\lambda}

3. 均匀带电平面

   无限大：\color{forestgreen}E=\frac{\sigma}

4. 均匀带电圆环

   利用$dq=\lambda dy$ 进行积分

   沿轴线：$E=\frac{xQ}{4\pi\varepsilon_0(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}$ ，若$x\gg R$：\color{forestgreen}E=\frac{Q}

5. 均匀带电圆盘

   圆盘是由圆环组成，对 dr 进行积分

   沿轴线：$\color{forestgreen}E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}})$

   • 当$x\ll R$，圆盘可视为无限大的平面，E=\frac{\sigma}
   • 当$x\gg R$，圆盘可视为点电荷，$E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 x^2}$（q 为圆盘的总带电量$q=\sigma \pi R^2$

6. 均匀带电球面

   $dq=\sigma 2\pi r'dl, r'=R\sin\theta$，对圆盘上的圆环进行积分

   当$x>R$ 时，\color{forestgreen}E=\frac{Q}

   当$x<R$ 时，$E=0$

# 高斯定理

$\Phi_e=\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum\limits_{S_{\text{内}}}q_i$​

---- 揭示了静电场是有源场

注意：

1. $\Phi_E只取决于S面包围的电荷，S面外的电荷对\Phi_E无贡献$
2. $\vec{E}$ 是所取封闭面 S（高斯面）上的场强，它是由全部电荷$\color{red}{S内外}$​共同产生的合场强

# 高斯面的选取

高斯面（封闭面）应该选在场强相等的封闭曲面上，如果场强相等的曲面不封闭，则应该添加与场强方向垂直的面共同形成封闭曲面

1. 球对称：选与带电体同心的球面
2. 轴对称：选与带电体同轴的圆柱面
3. 面对称：选轴与带电面垂直，两底与带电面等距平行的圆柱面

对于一个球体中挖去一个小球体，求空腔内一点的电场强度：先将球体补齐，算大球体和补进去的小球体产生的场强，一减即可

$\color{red}$

# 环路定理

----- 揭示了静电场的无旋性

$\oint_L\vec{E}\cdot d\vec{l}=0$

静电场做功：$\frac{A}{q_0}=\frac{q}{4\pi\varepsilon(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b})}(r_a,r_b表示场源电荷到被移动电荷的起点和终点距离)$

# 电势差和电势

# 概念

点电荷$q_0$ 从 P 到 Q，电场力做功为：A_{PQ}=q_0\int_{P}^Q\vec{E}\cdot d\vec

$W_P,W_Q$ 分别是$q_0$ 在 P 点和 Q 点的静电势能，W_P-W_Q=q_0\int_P^Q\vec{E}\cdot d\vec

P、Q 两点的电势差为V_P-V_Q=\int_{P}^Q \vec{E}\cdot d \vec

# 电势零点的选取

1. 场源电荷分布在有限空间，选取无穷远处为电势零点
2. 电荷分布在无限空间，选有限远点为电势零点

# 电势的计算

1. 定义法求电势

   V_P=\int_{P}^{V=0处}\vec{E}\cdot d\vec

2. 电势叠加法求电势

   点电荷系场中的电势：V_P=\sum\limits_{i}\frac{q_i}

   任意带电体场中的电势：V_P=\int_q\frac{dq}

# 电势梯度

电视梯度是电势的最大空间变化率

$\vec{E}=-grad\,V=-(\frac{\partial}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{j} +\frac{\partial}{\partial z}\vec{k})V$

# 静电场中的导体

静电感应$\rightarrow$ 静电平衡$\rightarrow$ 等势体

# 静电平衡的条件

静电平衡：导体表面和内部都没有电荷的定向移动

1. 导体内部 $\vec{E}=0$
2. 外表面 $\vec{E}\bot表面$

推论：导体是等势体，导体表面是等势面

静电平衡时导体上的电荷分布：

1. 导体内部没有静电荷，电荷分布在外表面上

2. 导体内有空腔，腔内无其他带电体，电荷全分布在导体外表面

3. 导体表面附近$\vec{E}$ 的大小与该处的面电荷密度$\sigma$ 成正比：\vec{E} = \frac{\sigma}

$\color{red}{\vec{E}}是导体表面电荷和外部电荷的合场强$​

4. 孤立导体表面各处的面电荷密度$\sigma$ 与各处曲率半径 R 成反比，即\sigma \propto \frac{1}

求解静电平衡时的电荷分布：

1. 取两板之间的高斯柱面，得两板电荷之和为 0
2. 导体内任一点电场为 0

# 静电屏蔽

1. 腔内无带电体

   • 内表面无电荷
   • 腔内$\vec{E} = 0$

2. 腔内有带电体

   • 内表面电荷和腔内电荷等值异号
   • 外表面电荷与腔内电荷等值同号

   $\color{red}$

# 静电场中的电介质

电介质是绝缘体，不导电，在外电场$\vec{E}\neq 0$

# 电介质分子的分类

1. 无极分子：在无外场作用下，整个分子无电矩
2. 有极分子：在无外场作用下，整个分子存在固有电矩

# 电极化现象

宏观：电介质表面出现电荷

端面上束缚电荷越多，电极化程度越强

1. 有极分子

   取向极化：\vec{E}=0,\sum\vec{p}=0;\vec{E}\neq 0,\vec{M}=\vec{p}\times\vec

   $\vec{E}\uparrow$，$\vec{p}$ 排列越整齐

2. 无极分子

   位移极化：

# 电极化强度矢量\vec

1. $\vec{P} = \frac{\sum p_i}{\Delta V}$，单位体积内所有分子的电偶极矩之矢量和，单位$C/m^2$

2. 无极分子介质极化的过程中，穿过 ds 的束缚电荷为$dq=\vec{p}\cdot \vec{e_n}ds$，$\frac{dq}{ds}=\vec{p}\cdot \vec{e_n}$$\Rightarrow$ 由于电介质极化，在其表面上单位面积所出现的一层束缚电荷，即束缚电荷的面密度$\sigma$ 和该处电极化强度 P 在表面法线上的分量值相同\sigma =\vec{p}\cdot \vec

3. $\vec{P}$ 与$\vec{E}$ 成正比，对于各向同性的电介质：\vec{P} = \varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\vec

   $\chi_e=\varepsilon_r-1$，$\chi_e$–电极化率，$\varepsilon_r$–相对介电常数

   即：$\vec{P}=\chi_e \varepsilon_r\vec{E}$，\overrightarrow{E} = \overrightarrow{E_{\text{外}}}+\overrightarrow

4. 电击穿–电介质的击穿

   当$\vec{E}$ 足够强的时候，分子中正负电荷被拉开$\rightarrow$ 自由电荷

   绝缘体$\rightarrow$ 导体 $\Longrightarrow$ 电介质的击穿

   电介质所能承受的不被击穿的最大的电场强度$\rightarrow$ 击穿场强

# 有电介质存在时的静电场的计算​

在有介质存在空间的电场由自由电荷和介质上的束缚电荷共同产生

放入介质两极板间的电位差为$\rightarrow$V

未放入介质两极板间的电位差为$\rightarrow V_0$

$\Longrightarrow$ $\color{red}{V=\frac{V_0}{\varepsilon_r}}$​

# 介质中的高斯定理

通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的$\color{red}{自由电荷}$ 的代数和，与极化电荷和高斯面外的电荷无关

电介质内的合场强为$\vec{E}=\vec{E'}+\vec{E_0}$​

电位移矢量：\vec

$\vec{D}$ 线：电场线始于正电荷，止于负电荷；$\vec{D}$ 线始于正自由电荷，止于正自由电荷

$\vec{D}$ 的通量：（均匀）$\Phi_D=\vec{D}\cdot \Delta \vec{S}$，（非均匀）\Phi_D = \iint_S\vec{D}\cdot d\vec

$\color{red}{注：}$ 1. $\vec{D}$ 由空间所有电荷（自由、束缚、S 面内、S 面外）共同决定

​ 2. $\iint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}$ 由面内自由电荷决定

​ 3.$\vec{D} = \varepsilon\vec{E}$，$\vec{D}$ 与$\vec{E}$ 处处对应方向一致

​ 4.$\oint\vec{D}d\vec{S}=\sum q_{\text{自}}$ 与 \oint \vec{E}d\vec{S}=\frac{\sum q_{\text{自}}+\sum q_{\text{束}}}

# 环路定理

$\oint\vec{E}d\vec{l} = 0$，束缚电荷产生的场强与自由电荷产生的场强相同

# 归纳

1. \vec{P}=\chi_E\varepsilon_0\vec

2. \vec{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r \vec

3. \vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E}+\vec

4. 空间某点处的$\vec{E}$ 仅与该点的电介质有关，而该处的$\vec{V}$ 与积分路径上所有电介质有关

# 电容

# 孤立导体的电容

若一孤立导体带电$+q$， 该导体具有一定的电势$V$，电容C=\frac{q}

电容的物理意义：孤立导体每升高一个单位的电势所需要的电量

# 电容器及其电容

C_{AB} = \frac{q}

增大电容：多个电容并联$C = C_1+C_2+ ...+C_k$

增强耐压：多个电容串联$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+...+\frac{1}{C_k}$​

平行板电容器 C：C=\frac{\varepsilon S}

平行板电容器中有介质时的 C：$C = \frac{\varepsilon_0 S}{b-\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}t}$

圆柱形电容器：$C=\frac{2\pi \varepsilon L}{ln(R_B/R_A)}$​

设内外极板所带电荷线密度为$+\lambda$ 和$-\lambda$，取同轴的高斯柱面\vec{E} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}\vec

球形电容器：$C=\frac{4\pi \varepsilon R_AR_B}{R_B-R_A}$​

设内外球壳分别带$+q,-q$

# 求解电容的方法

1. 假设极板的上下面电荷密度，利用电势差的关系$\rightarrow$ 场强$\rightarrow$ 面电荷密度
2. 假设极板的上下面电荷密度，利用$D=\sigma$ $\rightarrow$ E $\rightarrow$ $\Delta V$ $\rightarrow$​ C
3. 根据串并联的规则

# 静电场的能量

# 电容器的能量

$W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2} CV^2=\frac{1}{2}QV$

# 电场的能量

电场能量密度：w_e=\frac{1}{2}\varepsilon E^2=\frac{1}{2}\vec{D}\cdot\vec

电场能量：$W=\frac{1}{2}\int\varepsilon E^2dV=\frac{1}{2}\int \vec{D}\cdot\vec{E}dV$

# 电荷在外电场中的电势能

$1eV=1.6\times 10^{-19}J$

电势能：$W=qV$

静电互能：一个点电荷在外电场中的电势能，属于该电荷和场源电荷所共有

# 带电体系的静电能

静电能：系统中所有电荷之间相互作用能的总和成为该电荷系统的静电能

• 将系统中各电荷从现有位置到彼此分散到无限远的过程中，他们之间的静电力所做的功
• 将各电荷从彼此分散在无限远处移动到现有位置过程，外力做的功

$W_{\text{总静电能}}=W_{\text{互}}+W_{\text{自}}$

自能：单一带电体自身电荷元相互作用的静电能

互能：不同带电体上电荷的相互作用的静电能

# 点电荷的互能

两个点电荷组成的系统：因为$A_{12}=A_{21}$ , 所以$W=\frac{1}{2}(q_1V_1+q_2V_2)$

n 个点电荷组成的系统：第 i 个电荷的电荷量为$q_i$，其他电荷在$q_i$ 处产生的电势为$V_i$，则点电荷系的静电能为$W=\frac{1}{2}\sum\limits_{i-1}^{n}q_iV_i$