电荷和库仑定律

电子e：\(1.602 \times 10^{-19}C\)

库仑定律：

库仑定律对运动的电荷不成立，因为会产生磁场；但是高斯定理对运动的电荷成立

\(F=k\frac{q_1 q_2}{r^2}\vec{e_r}\)，其中\(k=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}=9\times 10^9, \varepsilon_0=8.8542=10^{-12}C^2/(N\cdot m^{-2})\)​

静电场与电场强度

概念

电场强度：\(E=\frac{F}{q_0}\)，单位：\(N/C或V/m\)​

点电荷：\(E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0r^2}\vec{e_r}\)

线电荷密度：\(\lambda\) 面电荷密度：\(\sigma\) 体电荷密度：\(\rho\)

\(\color{red}{(\lambda = \sigma dy)}\)

各特殊模型产生的场强

  1. 电偶极子

    电偶极子：两相隔一定距离的等量异号点电荷

    \(\vec{l}\)：负电荷到正电荷的矢量线段

    电偶极矩：\(\vec{p}=q\vec{l}\)

    \(E=-\frac{ql}{4\pi \varepsilon_0 (r^2 + l^2/4)^{\frac{3}{2}}}\)，若\(r\gg l\)，\(\color{forestgreen}{E=-\frac{ql}{4\pi \varepsilon_0r^3}}\)

  2. 均匀带电直线

    利用\(dq=\lambda dy\)进行积分

    无限长：\(\color{forestgreen}E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0x}\)

  3. 均匀带电平面

    无限大：\(\color{forestgreen}E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\)

  4. 均匀带电圆环

    利用\(dq=\lambda dy\)进行积分

    沿轴线：\(E=\frac{xQ}{4\pi\varepsilon_0(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\) ，若\(x\gg R\)：\(\color{forestgreen}E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x^2}\)

  5. 均匀带电圆盘

    圆盘是由圆环组成，对dr进行积分

    沿轴线：\(\color{forestgreen}E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}})\)

    • 当\(x\ll R\)，圆盘可视为无限大的平面，\(E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\)
    • 当\(x\gg R\)，圆盘可视为点电荷，\(E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 x^2}\)（q为圆盘的总带电量\(q=\sigma \pi R^2\)

  6. 均匀带电球面

    \(dq=\sigma 2\pi r'dl, r'=R\sin\theta\)，对圆盘上的圆环进行积分

    当\(x>R\)时，\(\color{forestgreen}E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x^2}\)

    当\(x<R\)时，\(E=0\)

高斯定理

\(\Phi_e=\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum\limits_{S_{\text{内}}}q_i\)​

----揭示了静电场是有源场

注意：

  1. \(\Phi_E只取决于S面包围的电荷，S面外的电荷对\Phi_E无贡献\)
  2. \(\vec{E}\)是所取封闭面S（高斯面）上的场强，它是由全部电荷\(\color{red}{S内外}\)​共同产生的合场强

高斯面的选取

高斯面（封闭面）应该选在场强相等的封闭曲面上，如果场强相等的曲面不封闭，则应该添加与场强方向垂直的面共同形成封闭曲面

  1. 球对称：选与带电体同心的球面
  2. 轴对称：选与带电体同轴的圆柱面
  3. 面对称：选轴与带电面垂直，两底与带电面等距平行的圆柱面

对于一个球体中挖去一个小球体，求空腔内一点的电场强度：先将球体补齐，算大球体和补进去的小球体产生的场强，一减即可

\(\color{red}{不能直接取高斯面，因为E和r不是平i平行的的}\)

环路定理

----- 揭示了静电场的无旋性

\(\oint_L\vec{E}\cdot d\vec{l}=0\)

静电场做功：\(\frac{A}{q_0}=\frac{q}{4\pi\varepsilon(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b})}(r_a,r_b表示场源电荷到被移动电荷的起点和终点距离)\)

电势差和电势

概念

点电荷\(q_0\)从P到Q，电场力做功为：\(A_{PQ}=q_0\int_{P}^Q\vec{E}\cdot d\vec{l}\)

\(W_P,W_Q\)分别是\(q_0\)在P点和Q点的静电势能，\(W_P-W_Q=q_0\int_P^Q\vec{E}\cdot d\vec{l}\)

P、Q两点的电势差为\(V_P-V_Q=\int_{P}^Q \vec{E}\cdot d \vec{l}\)

电势零点的选取

  1. 场源电荷分布在有限空间，选取无穷远处为电势零点
  2. 电荷分布在无限空间，选有限远点为电势零点

电势的计算

  1. 定义法求电势

    \(V_P=\int_{P}^{V=0处}\vec{E}\cdot d\vec{l}\)

  2. 电势叠加法求电势

    点电荷系场中的电势：\(V_P=\sum\limits_{i}\frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i}\)

    任意带电体场中的电势：\(V_P=\int_q\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0r}\)

电势梯度

电视梯度是电势的最大空间变化率

\(\vec{E}=-grad\,V=-(\frac{\partial}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{j} +\frac{\partial}{\partial z}\vec{k})V\)

静电场中的导体

静电感应\(\rightarrow\)静电平衡\(\rightarrow\)等势体

静电平衡的条件

静电平衡：导体表面和内部都没有电荷的定向移动

  1. 导体内部 \(\vec{E}=0\)
  2. 外表面 \(\vec{E}\bot表面\)

推论：导体是等势体，导体表面是等势面

静电平衡时导体上的电荷分布：

  1. 导体内部没有静电荷，电荷分布在外表面上

  2. 导体内有空腔，腔内无其他带电体，电荷全分布在导体外表面

  3. 导体表面附近\(\vec{E}\)的大小与该处的面电荷密度\(\sigma\)成正比：\(\vec{E} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)

\(\color{red}{\vec{E}}是导体表面电荷和外部电荷的合场强\)​

  1. 孤立导体表面各处的面电荷密度\(\sigma\)与各处曲率半径R成反比，即\(\sigma \propto \frac{1}{R}\)

求解静电平衡时的电荷分布：

  1. 取两板之间的高斯柱面，得两板电荷之和为0
  2. 导体内任一点电场为0

静电屏蔽

  1. 腔内无带电体

    • 内表面无电荷
    • 腔内\(\vec{E} = 0\)

  2. 腔内有带电体

    • 内表面电荷和腔内电荷等值异号
    • 外表面电荷与腔内电荷等值同号

    \(\color{red}{外表面电荷分布和曲率有关和腔内电荷位置无关}\)

静电场中的电介质

电介质是绝缘体，不导电，在外电场\(\vec{E}\neq 0\)

电介质分子的分类

  1. 无极分子：在无外场作用下，整个分子无电矩
  2. 有极分子：在无外场作用下，整个分子存在固有电矩

电极化现象

宏观：电介质表面出现电荷

端面上束缚电荷越多，电极化程度越强

  1. 有极分子

    取向极化：\(\vec{E}=0,\sum\vec{p}=0;\vec{E}\neq 0,\vec{M}=\vec{p}\times\vec{E}\)

    \(\vec{E}\uparrow\)，\(\vec{p}\)排列越整齐

  2. 无极分子

    位移极化：

电极化强度矢量\(\vec{P}\)

  1. \(\vec{P} = \frac{\sum p_i}{\Delta V}\)，单位体积内所有分子的电偶极矩之矢量和，单位\(C/m^2\)

  2. 无极分子介质极化的过程中，穿过ds的束缚电荷为\(dq=\vec{p}\cdot \vec{e_n}ds\)，\(\frac{dq}{ds}=\vec{p}\cdot \vec{e_n}\)\(\Rightarrow\)由于电介质极化，在其表面上单位面积所出现的一层束缚电荷，即束缚电荷的面密度\(\sigma\)和该处电极化强度P在表面法线上的分量值相同\(\sigma =\vec{p}\cdot \vec{e_n}\)

  3. \(\vec{P}\)与\(\vec{E}\)成正比，对于各向同性的电介质：\(\vec{P} = \varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\vec{E}\)

    \(\chi_e=\varepsilon_r-1\)，\(\chi_e\)--电极化率，\(\varepsilon_r\)--相对介电常数

    即：\(\vec{P}=\chi_e \varepsilon_r\vec{E}\)，\(\overrightarrow{E} = \overrightarrow{E_{\text{外}}}+\overrightarrow{E'}\)

  4. 电击穿--电介质的击穿

    当\(\vec{E}\)足够强的时候，分子中正负电荷被拉开\(\rightarrow\)自由电荷

    绝缘体\(\rightarrow\)导体 \(\Longrightarrow\) 电介质的击穿

    电介质所能承受的不被击穿的最大的电场强度\(\rightarrow\)击穿场强

有电介质存在时的静电场的计算​

在有介质存在空间的电场由自由电荷和介质上的束缚电荷共同产生

放入介质两极板间的电位差为\(\rightarrow\)V

未放入介质两极板间的电位差为\(\rightarrow V_0\)

\(\Longrightarrow\) \(\color{red}{V=\frac{V_0}{\varepsilon_r}}\)​

介质中的高斯定理

通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的\(\color{red}{自由电荷}\)的代数和，与极化电荷和高斯面外的电荷无关

电介质内的合场强为\(\vec{E}=\vec{E'}+\vec{E_0}\)​

电位移矢量：\(\vec{D}\)

\(\vec{D}\)线：电场线始于正电荷，止于负电荷；\(\vec{D}\)线始于正自由电荷，止于正自由电荷

\(\vec{D}\)的通量：（均匀）\(\Phi_D=\vec{D}\cdot \Delta \vec{S}\)，（非均匀）\(\Phi_D = \iint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}\)

\(\color{red}{注：}\) 1. \(\vec{D}\)由空间所有电荷（自由、束缚、S面内、S面外）共同决定

​ 2. \(\iint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}\)由面内自由电荷决定

​ 3.\(\vec{D} = \varepsilon\vec{E}\)，\(\vec{D}\)与\(\vec{E}\)处处对应方向一致

​ 4.\(\oint\vec{D}d\vec{S}=\sum q_{\text{自}}\)与 \(\oint \vec{E}d\vec{S}=\frac{\sum q_{\text{自}}+\sum q_{\text{束}}}{\varepsilon_0}\)

环路定理

\(\oint\vec{E}d\vec{l} = 0\)，束缚电荷产生的场强与自由电荷产生的场强相同

归纳

  1. \(\vec{P}=\chi_E\varepsilon_0\vec{E}\)

  2. \(\vec{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r \vec{E}\)

  3. \(\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E}+\vec{P}\)

  4. 空间某点处的\(\vec{E}\)仅与该点的电介质有关，而该处的\(\vec{V}\)与积分路径上所有电介质有关

电容

孤立导体的电容

若一孤立导体带电\(+q\)， 该导体具有一定的电势\(V\)，电容\(C=\frac{q}{V}\)

电容的物理意义：孤立导体每升高一个单位的电势所需要的电量

电容器及其电容

\(C_{AB} = \frac{q}{V_a-V_B}\)

增大电容：多个电容并联\(C = C_1+C_2+ ...+C_k\)

增强耐压：多个电容串联\(\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+...+\frac{1}{C_k}\)​

平行板电容器C：\(C=\frac{\varepsilon S}{d}\)

平行板电容器中有介质时的C：\(C = \frac{\varepsilon_0 S}{b-\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}t}\)

圆柱形电容器：\(C=\frac{2\pi \varepsilon L}{ln(R_B/R_A)}\)​

设内外极板所带电荷线密度为\(+\lambda\)和\(-\lambda\)，取同轴的高斯柱面\(\vec{E} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}\vec{e_r}\)

球形电容器：\(C=\frac{4\pi \varepsilon R_AR_B}{R_B-R_A}\)​

设内外球壳分别带\(+q,-q\)

求解电容的方法

  1. 假设极板的上下面电荷密度，利用电势差的关系\(\rightarrow\)场强\(\rightarrow\)面电荷密度
  2. 假设极板的上下面电荷密度，利用\(D=\sigma\) \(\rightarrow\) E \(\rightarrow\) \(\Delta V\) \(\rightarrow\)​ C
  3. 根据串并联的规则

静电场的能量

电容器的能量

\(W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2} CV^2=\frac{1}{2}QV\)

电场的能量

电场能量密度：\(w_e=\frac{1}{2}\varepsilon E^2=\frac{1}{2}\vec{D}\cdot\vec{E}\)

电场能量：\(W=\frac{1}{2}\int\varepsilon E^2dV=\frac{1}{2}\int \vec{D}\cdot\vec{E}dV\)

电荷在外电场中的电势能

\(1eV=1.6\times 10^{-19}J\)

电势能：\(W=qV\)

静电互能：一个点电荷在外电场中的电势能，属于该电荷和场源电荷所共有

带电体系的静电能

静电能：系统中所有电荷之间相互作用能的总和成为该电荷系统的静电能

  • 将系统中各电荷从现有位置到彼此分散到无限远的过程中，他们之间的静电力所做的功
  • 将各电荷从彼此分散在无限远处移动到现有位置过程，外力做的功

\(W_{\text{总静电能}}=W_{\text{互}}+W_{\text{自}}\)

自能：单一带电体自身电荷元相互作用的静电能

互能：不同带电体上电荷的相互作用的静电能

点电荷的互能

两个点电荷组成的系统：因为\(A_{12}=A_{21}\) ,所以\(W=\frac{1}{2}(q_1V_1+q_2V_2)\)

n个点电荷组成的系统：第i个电荷的电荷量为\(q_i\)，其他电荷在\(q_i\)处产生的电势为\(V_i\)，则点电荷系的静电能为\(W=\frac{1}{2}\sum\limits_{i-1}^{n}q_iV_i\)