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# 第一型曲线积分

# 形式

∫Lfds\int_{L}f ds​ – 表示曲线 L 的质量，f 是密度函数

# 方法

  1. 化为定积分

∫Lfds=∫αβf(x(t),y(t),z(t))x(t)′2+y(t)′2+z(t)′2dt\int_{L}f ds = \int_{\alpha}^{\beta}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x(t)'^{2} + y(t)'^{2} +z(t)'^{2}}dt​

  • 极坐标：ds=r(θ)2+r(θ)′2dθds=\sqrt{r(\theta)^2 + r(\theta)'^2}d\theta
  • xy 平面曲线：ds=1+y(t)′2dxds = \sqrt{1+y(t)'^2}dx​
  1. 对称性
  • 平面曲线 L 关于y=xy=x 对称，且被积函数在 L 上连续：可以交换 x，y
  • 空间曲线 L 关于y=x=zy=x=z 对称，且被积函数在 L 上连续：x,y,z 具有轮换对称性

  1. 质心

    当被积函数是只有一次参变量时，可以利用已知质心进行计算

# 第二型曲线积分

# 形式

∫LF⃗⋅dr⃗=∫LF⃗⋅τ⃗ds=∫LPdx+Qdy+Rdz=∫LPcosα+Qcosβ+Rcosγds\int_{L}\vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_L \vec{F} \cdot \vec{\tau}ds = \int_LPdx+Qdy+Rdz = \int_L Pcos\alpha + Qcos\beta + Rcos\gamma ds

τ⃗\vec{\tau} 为 L 的切矢量，其方向余弦为cosα,cosβ,cosγ{cos\alpha,cos\beta,cos\gamma}，F⃗={P,Q,R}\vec{F} = \left\{P,Q,R\right\}，dr⃗={dx,dy,dz}d\vec{r} = \left\{dx,dy,dz\right\} – 变力沿​曲线做功

# 方法

  1. 化为定积分

  2. Green 公式

    \oint_L Pdx + Qdy = \iint_\limits{D}(Q_x - P_y)dxdy

    • 简单闭曲线
    • 函数 P，Q 在 D 上包括边界有连续一阶偏导数

  3. 积分与路径无关

  • 可化成全微分
  • Qx=PyQ_x = P_y
  • D 内任何分段光滑闭曲线 C，∮CPdx+Qdy=0\oint_C Pdx+Qdy = 0
  1. 除M0M_0 点外，P，Q 处处有一节连续偏导数，Qx=PyQ_x = P_y，任何\color{red}{任何} 包围M0M_0 的正向\color{red}{正向} 简单闭曲线 L，积分∮LPdx+Qdy\oint_L Pdx+Qdy 取同一值

# 第一型曲面积分

# 形式

\iint_\limits{S}f(x,y,z)dS – 曲面质量

# 方法

  1. 化为二重积分

    将曲面投影到某个坐标面，将\iint_\limits{S} 改成\iint_\limits

    dS=1+zx2+zy2dσdS = \sqrt{1+z_x^2 + z_y^2}d\sigma

# 第二型曲面积分

# 形式

\iint_\limits{S} \vec{F}\cdot \vec{n}ds = \iint_\limits{S}Pcos\alpha + Qcos\beta + Rcos\gamma dS = \iint_\limits{S}Pdydz + Qdzdx + Rdxdy

– 流量问题

# 方法

  1. 化为二重积分
  2. 分散投影
  3. 统一投影法

​ \vec{n} = \left\{cos\alpha, cos\beta,cos\gamma\right\}=\pm \frac{1}{\sqrt{1+z_x^2 + z_y^2}} \left\

​ dydz=cos⁡αdS=−zx(x,y)dxdydydz=\cos\alpha dS=-z_x(x,y)dxdy

​ dzdx=cos⁡βdS=−zy(x,y)dxdydzdx = \cos\beta dS = -z_y(x,y)dxdy

​ dxdy=cos⁡γdSdxdy = \cos\gamma dS

  1. 散度与旋度

​ ∇={∂∂x, ∂∂y, ∂∂z}\nabla = \left\{\frac{\partial}{\partial x} ,\,\frac{\partial}{\partial y} ,\,\frac{\partial}{\partial z} \right\}

​ ∇f(r)={∂f(r)∂x, ∂f(r)∂y, ∂f(r)∂z}\nabla f(r) = \left\{\frac{\partial f(r)}{\partial x} ,\,\frac{\partial f(r)}{\partial y} ,\,\frac{\partial f(r)}{\partial z} \right\} = f′(r)⋅1x2+y2+z2{x,y,z}f'(r)\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \left\{x,y,z\right\}=f′(r)rr⃗\frac{f'(r)}{r} \vec{r} （其中r⃗={x,y,z}\vec{r} = \left\{x,y,z\right\}）

​ 散度：div\, \vec{F} = P_x+Q_y+R_z=\nabla \cdot \vec

​ 旋度：rot F→=\overrightarrow{rot\,F}=  ∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\ \left|\begin{array}{cccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{array}\right|=\nabla \times \vec

  1. Gauss 公式

    S 应该是正向闭曲面

  2. Stokes 公式

​ ∮L F⃗⋅dr⃗=∬s(∇×F⃗)⋅n⃗dS\oint_L \,\vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint\limits_{s}(\nabla\times \vec{F})\cdot \vec{n}dS

​ \oint_L Pdx+Qdy+Rdz = \iint_\limits{S}  ∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\ \left|\begin{array}{cccc} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{array}\right|