曲线积分与曲面积分
第一型曲线积分
形式
\(\int_{L}f ds\) -- 表示曲线L的质量，f是密度函数
方法
- 化为定积分
\(\int_{L}f ds = \int_{\alpha}^{\beta}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x(t)'^{2} + y(t)'^{2} +z(t)'^{2}}dt\)
- 极坐标：\(ds=\sqrt{r(\theta)^2 + r(\theta)'^2}d\theta\)
- xy平面曲线：\(ds = \sqrt{1+y(t)'^2}dx\)
- 对称性
- 平面曲线L关于\(y=x\)对称，且被积函数在L上连续：可以交换x，y
- 空间曲线L关于\(y=x=z\)对称，且被积函数在L上连续：x,y,z具有轮换对称性
质心
当被积函数是只有一次参变量时，可以利用已知质心进行计算
第二型曲线积分
形式
\(\int_{L}\vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_L \vec{F} \cdot \vec{\tau}ds = \int_LPdx+Qdy+Rdz = \int_L Pcos\alpha + Qcos\beta + Rcos\gamma ds\)
\(\vec{\tau}\)为L的切矢量，其方向余弦为\({cos\alpha,cos\beta,cos\gamma}\)，\(\vec{F} = \left\{P,Q,R\right\}\)，\(d\vec{r} = \left\{dx,dy,dz\right\}\) -- 变力沿曲线做功
方法
化为定积分
Green公式
\(\oint_L Pdx + Qdy = \iint_\limits{D}(Q_x - P_y)dxdy\)
- 简单闭曲线
- 函数P，Q在D上包括边界有连续一阶偏导数
积分与路径无关
- 可化成全微分
- \(Q_x = P_y\)
- D内任何分段光滑闭曲线C，\(\oint_C Pdx+Qdy = 0\)
- 除\(M_0\)点外，P，Q处处有一节连续偏导数，\(Q_x = P_y\)，\(\color{red}{任何}\)包围\(M_0\)的\(\color{red}{正向}\)简单闭曲线L，积分\(\oint_L Pdx+Qdy\)取同一值
第一型曲面积分
形式
\(\iint_\limits{S}f(x,y,z)dS\) -- 曲面质量
方法
化为二重积分
将曲面投影到某个坐标面，将\(\iint_\limits{S}\)改成\(\iint_\limits{D}\)
\(dS = \sqrt{1+z_x^2 + z_y^2}d\sigma\)
第二型曲面积分
形式
\(\iint_\limits{S} \vec{F}\cdot \vec{n}ds = \iint_\limits{S}Pcos\alpha + Qcos\beta + Rcos\gamma dS = \iint_\limits{S}Pdydz + Qdzdx + Rdxdy\)
-- 流量问题
方法
- 化为二重积分
- 分散投影
- 统一投影法
\(\vec{n} = \left\{cos\alpha, cos\beta,cos\gamma\right\}=\pm \frac{1}{\sqrt{1+z_x^2 + z_y^2}} \left\{-z_x, -z_y, 1\right\}\)
\(dydz=\cos\alpha dS=-z_x(x,y)dxdy\)
\(dzdx = \cos\beta dS = -z_y(x,y)dxdy\)
\(dxdy = \cos\gamma dS\)
- 散度与旋度
\(\nabla = \left\{\frac{\partial}{\partial x} ,\,\frac{\partial}{\partial y} ,\,\frac{\partial}{\partial z} \right\}\)
\(\nabla f(r) = \left\{\frac{\partial f(r)}{\partial x} ,\,\frac{\partial f(r)}{\partial y} ,\,\frac{\partial f(r)}{\partial z} \right\}\) = \(f'(r)\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \left\{x,y,z\right\}\)=\(\frac{f'(r)}{r} \vec{r}\) （其中\(\vec{r} = \left\{x,y,z\right\}\)）
散度：\(div\, \vec{F} = P_x+Q_y+R_z=\nabla \cdot \vec {F}\)
旋度：\(\overrightarrow{rot\,F}=\) \(\ \left|\begin{array}{cccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{array}\right|\)\(=\nabla \times \vec{F}\)
Gauss公式
S应该是正向闭曲面
Stokes公式
\(\oint_L \,\vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint\limits_{s}(\nabla\times \vec{F})\cdot \vec{n}dS\)
\(\oint_L Pdx+Qdy+Rdz = \iint_\limits{S}\) \(\ \left|\begin{array}{cccc} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{array}\right|\)
