简谐振动

方程表示

Q做简谐运动： \[ F_{合}=-kx_i,w=\sqrt{\frac{k}{m}} \] \[ \frac{d^2x}{dt^2}+w^2x=0 \]

方程的解： \[ x=A\cos(wt+\varphi) \]

\[ A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{w^2}} \]

\[ \tan\varphi=-\frac{v_0}{x_0w} \]

矢量旋转表示

简谐振动的能量

动能： \[ E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kA^2\sin^2(wt+\varphi) \] 势能： \[ E_p=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2\cos^2(wt+\varphi) \] 总能量： \[ E=E_k+E_p=\frac{1}{2}kA^2 \] 动能和势能的时间平均值： \[ \bar{E_k}=\frac{1}{T}\int_0^T\frac{1}{2}kA^2\sin^2(wt+\varphi)dt=\frac{1}{4}kA^2 \]

\[ \bar{E_p}=\frac{1}{T}\int_0^T\frac{1}{2}kA^2\cos^2(wt+\varphi)dt=\frac{1}{4}kA^2 \]

能量-时间曲线

能量-位移曲线 \[ x=A\cos(wt+\varphi) \] \[ E_k=\frac{1}{2}kA^2\sin^2(wt+\varphi)\Rightarrow E_k=\frac{1}{2}k(A^2-x^2) \]

\[ E_p=\frac{1}{2}kA^2\cos^2(wt+\varphi)\Rightarrow E_p=\frac{1}{2}kx^2 \]

振动的合成和分解

\[ A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)} \]

\[ \tan\varphi=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2} \]

同方向N个同频率简谐振动的合成

同方向不同频率简谐振动的合成

不是简谐振动，但是振动

振幅时大时小：拍

角频率w： \[ w=\frac{w_2-w_1}{2} \] 周期\(\tau\)： \[ \tau=\frac{2\pi}{w_2-w_1} \] 频率\(\nu\) \[ \nu=\frac{1}{\tau}=\frac{w_2-w_1}{2\pi}=\nu_2-\nu_1 \] 拍在两分振动的频率相差不大时更为明显

相互垂直同频率简谐振动的合成

\(x=A_1\cos(wt+\varphi_1),y=A_2\cos(wt+\varphi_2)\)： \[ \large\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}-\frac{2xy}{A_1A_2}\cos\Delta\varphi=\sin^2\Delta\varphi \] 一般情况下，质点的轨迹是椭圆

  • \(\Delta\varphi\in(0,\pi)\)，质点沿顺时针方向运动，右旋
  • \(\Delta\varphi\in(-\pi,0)\)，质点沿逆时针方向运动，左旋

讨论\(\Delta \varphi\)

当\((\varphi_2-\varphi_1)=0/\pi\)时，为直线

当\((\varphi_2-\varphi_1)=\frac{1}{2}\pi/-\frac{1}{2}\pi\)时，为正椭圆

  • 当\(A_1=A_2\)时，正椭圆为圆

相互垂直不同频率的简谐运动的合成

两分振幅频率相差很小

可近似看做两个频率相同，而\(\varphi_2-\varphi_1\)随t不断变化

\(\Delta\varphi\)从 \[ 0\to\frac{1}{2}\pi\to\pi\to\frac{3}{2}\pi\to2\pi \] 合运动轨迹\((0\sim \pi的情况)\)从

直线->斜椭圆->正椭圆->斜椭圆->直线

两振动的频率成整数比 \[ \frac{w_1}{w_2}=\frac{n}{m} \] 合成轨迹为稳定的闭合曲线--李萨如图形

可以测量信号频率 \[ \frac{w_x}{w_y}=\frac{\nu_x}{\nu_y}=\frac{x出现的次数}{y出现的次数} \]

谐振分析

阻尼与受迫振动&共振

阻尼

动力学方程

\[ \frac{d^2x}{dt^2}+2\beta\frac{dx}{dt}+w_0^2x=0 \]

\[ w_0^2=\frac{k}{m},2\beta=\frac{\gamma}{m} \]

运动学特征

弱阻尼\(\beta<w_0\)

\[ x=A_0e^{-\beta t}\cos(wt+\varphi_0) \]

\[ w=\sqrt{w_0^2-\beta^2} \]

  • 振幅随t按指数衰减

  • 是准周期运动，出现两次极大的时间间隔 \[ T=\frac{2\pi}{w}=\frac{2\pi}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}>\frac{2\pi}{w_0}=T_0 \] 周期变长，振动变慢

  • 能量E随振幅A的减小而衰减\(E\propto A^2\)

过阻尼\(\beta>w_0\)

  • 非周期性运动
  • 无振动发生

临界阻尼\(\beta=w_0\)

振子刚好处于一个从准周期振动转变到非周期运动的临界状态

受迫振动

设强迫力为\(F(t)=F_m\cos wt\)

动力学方程

\[ \frac{d^2x}{dt^2}+2\beta\frac{dx}{dt}+w_0^2x=h\cos wt \]

\[ w_0^2=\frac{k}{m},2\beta=\frac{\gamma}{m},h=\frac{F_m}{m} \]

稳态时的受迫振动按简谐运动的规律变化，频率为\(w\)

将稳态方程带入解得： \[ 振幅：A=\frac{h}{\sqrt{(w_0^2-w^2)^2+4\beta^2w^2}} \]

\[ 相位：\tan\varphi=-\frac{2\beta w}{w_0^2-w^2} \]

稳定受迫振动和简谐振动的区别

  1. 受力不同

  2. 弹黄振子：

    • \(w_0\)是系统固有的
    • \(A,\psi\)取决于初始条件

    受迫振动：

    • \(w_0\)受外力影响
    • \(A,\psi\)受外力和系统共同决定

  3. 简谐振动能量守恒

共振

\(\frac{dA}{dw}=0\)

共振频率为： \[ w_r=w=\sqrt{w_0^2-2\beta^2} \] 共振振幅为： \[ A_r=\frac{h}{2\beta\sqrt{w_0^2-\beta^2}} \] 若\(\beta \ll w_0\)，则\(w_r\approx w_0,A_r=\frac{h}{2\beta}\)，称为尖锐共振

当\(\beta\to 0\)，即弱阻尼时，共振发生在固有频率处，称为尖锐共振

机械波

产生条件

  1. 波源
  2. 弹性介质：无穷多质点通过相互之间的弹性力作用组合在一起的连续介质。可以是固体、液体和气体。波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动状态在介质中由近及远地传播开去，从而形成机械波。

波的分类

横波：振动方向和传播方向垂直，如绳波，电磁波

  • 有波峰，波谷，只存在于固体中

纵波：振动方向和传播方向相同，如声波

  • 有疏密之分，存在于固液气中

波的描述

波的\(T\)和\(\nu\)取决于波源

波速\(u\)取决于介质（取决于介质的弹性模量和密度）

波长\(\lambda\)由波源和传输介质共同决定

平面简谐波

波源简谐振动，波面为平面

波函数

波源在o点，以速度u向x轴方向传播

在p点，振动时间比o点晚\(\frac{x}{u}\)，相位比o点落后\(w\frac{x}{u}\)

p点t时刻振动位移为 \[ y=A\cos(wt-w\frac{x}{u}) \]

波函数的意义

  1. x一定时，\(x=x_1\)为\(x_1\)处质点的振动方程

  2. t一定时，\(t=t_1\)为\(t_1\)时刻波形方程

  3. 当\(x,t\)都不固定时，波函数描述了波形的传播

    考察\(t_1\)和\(t_2=t_1+\Delta t\)时刻波形方程 \[ y_1=A\cos w(t_1-\frac{x}{u}) \] \[ y_2=A\cos w(t_2-\frac{x'}{u})=A\cos w(t1 + \Delta t-\frac{x'}{u})=A\cos (wt_1 - \frac{w(x'-u\Delta t)}{u}) \]

    当\(x'=x + u\Delta t\)时，\(y_1=y_2\)，说明经过\(\Delta t\)时间，整个波形向前平移了一段距离\(\Delta x=u\Delta t\)

一般形式

波源o初相位\(\psi\neq 0\)，波源振动方程为\(y=\cos(wt+\varphi)\)

则p点振动方程为：

P点落后O点的相位：\(w\Delta t=wx/u\) \[ y=\cos(wt+(\varphi-wx/u)) \] P点落后O点的振动时间：\(\Delta t=x/u\) \[ y=\cos(w(t - x/u)+\varphi) \] 根据\(w=\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu,u=\frac{\lambda}{T}=\lambda\nu\) \[ y=A\cos(wt-\frac{2\pi x}{\lambda}+\varphi) \] \[ y=A\cos[2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})+\varphi] \]

定义波数\(k=\frac{2\pi}{\lambda}\) \[ y(x,t)=A\cos((wt-kx)+\varphi)=Ae^{i(wt-kx)+i\varphi} \] 相位差： \[ \Delta \varphi=k\Delta x \]

波反向传播

波的能量

波的能量的传播

在\(x\)处取长度为\(\Delta x\)，体积为\(\Delta V=S\Delta x\)，质量为\(\Delta m=\rho\Delta V\)

振动动能 \[ E_k=\frac{1}{2}\rho\Delta VA^2w^2\sin^2w(t-\frac{x}{u}) \]

振动势能 \[ E_p=\frac{1}{2}\rho\Delta VA^2w^2\sin^2w(t-\frac{x}{u}) \] t时刻质元的总能量 \[ E=\rho\Delta VA^2w^2\sin^2w(t-\frac{x}{u}) \] 体积元中动能和势能同相地随时间变化，在任一时刻都具有相同的数值

能量密度

能量密度： \[ w=\frac{\Delta W}{\Delta V}=\rho A^2w^2\sin^2w(t-\frac{x}{u}) \] 周期 \[ T'=\frac{1}{2}T \] 平均能量密度： \[ \bar{w}=\frac{1}{2}\rho A^2w^2 \] 平面简谐波在各处的平均能量密度都相等

介质并不积累能量，能量随着波动的行进，从介质的这一部分传到另一部分。波动是能量传播的一种形式；波动的能量沿波速方向传播

能流密度

能流 P：单位时间内垂直通过某一截面的能量

\(\Delta t\)时间内通过垂直于波速截面\(\Delta S\)的能量，\(\Delta W=u\Delta t\Delta Sw\)，\(w\)是截面所在的能量密度 \[ P=\frac{\Delta W}{\Delta t}=u\Delta S w=u\Delta S\rho A^2w^2\sin^2w(t-\frac{x}{u}) \] 平均能流：在一个周期内能流的平均值 \[ \bar{P}=u\Delta S \bar w=\frac{1}{2}\rho A^2w^2u\Delta S \] 能流密度\(i\)是单位时间内通过垂直于波速方向的单位面积的能量。 \[ i=wu \] 平均能流密度：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流，又称为波的强度，单位\(W/m^2\) \[ I=\frac{\bar P}{\Delta S}=u\bar w=\frac{1}{2}\rho A^2w^2u \] 矢量表示，方向和u相同 \[ \vec{I}=\frac{1}{2}\rho A^2w^2\vec u \] 穿过各波面的平均能流应相等

\[ \frac{\bar P_1}{\bar P_2}=1=\frac{A_1^2}{A_2^2}\frac{S_1}{S_2}\\ A_1=A_2 \] \[ \frac{\bar P_1}{\bar P_2}=1=\frac{A_1^2}{A_2^2}\frac{S_1}{S_2}=\frac{A_1\cdot4\pi r_1}{A_2\cdot4\pi r_2}=1\\ A_1\neq A_2 \] 如果距波源单位距离的振幅为A，则距波源r处的振幅为\(A/r\)

衍射&干涉

干涉

相干条件：

  1. 频率相同
  2. 振动方向相同
  3. 相位差恒定

两波源\(S_1,S_2\)振动表达式为： \[ y_{10}=A_1\cos(wt+\varphi_{10}) \] \[ y_{20}=A_2\cos(wt+\varphi_{20}) \]

传播到p点引起的振动为： \[ y_{1}=A_1\cos(wt+\varphi_{10}-\frac{2\pi}{\lambda}r_1) \] \[ y_{2}=A_2\cos(wt+\varphi_{20}-\frac{2\pi}{\lambda}r_2) \]

两分振动相位差为： \[ \Delta \varphi=(\varphi_{20}-\varphi_{10})-\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1) \]

驻波

振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象。

设有两列相干波，分别沿x轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为： \[ y_1=A\cos(wt-\frac{2\pi}{\lambda}x),y_2=A\cos(wt+\frac{2\pi}{\lambda}x) \] \[ y=y_1+y_2=2A\cos\frac{2\pi}{\lambda}x\cdot\cos wt \]

特点：

  • 振幅呈周期性分布： \[ |2A\cos\frac{2\pi}{\lambda}x| \] 振幅最大的称为波腹： \[ x=k\frac{\lambda}{2} \] 振幅最小的称为波节： \[ x=(2k+1)\frac{\lambda}{4} \]

  • 两个波节之间一段中的各点振动位相相同，在波节两侧的点(邻近两段)振动位相相反

  • 驻波不传播能量

    • 驻波的动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节。能量在相邻的波腹和波节间往复变化
    • 驻波中没有振动状态或位相的传播，也没有能量的传播，实际上是分段振动
    • 驻波不是波动，而是一种特殊形式的振动

弦线上的驻波

一弦线两段固定，两端点为波节

可能驻波长： \[ L=n\frac{\lambda}{2},n=1,2,3,... \]

半波损失

\(\rho u\)大的是波密，\(\rho u\)小的是波疏

从光疏射向光密的反射光有半波损失

多普勒效应

波源和接收器都静止\(v_s=0,v_R=0\) \[ v1=v \] 波源静止，接收器运动\(v_s=0,v_R\neq 0\) \[ 靠近：v_2=\frac{u+v_R}{u}v \] \[ 远离：v_2=\frac{u-v_R}{u}v \]

波源运动，接收器静止\(v_s\neq 0,v_R=0\) \[ 靠近：v_3=\frac{u}{u-v_s}v \] \[ 远离：v_3=\frac{u}{u+v_s}v \]

两个都运动：

冲击波和马赫锥

若波源速度超过波速，\(v_s\gg u\)，各时刻波源发出波的波前的包络面为一个以波源为顶点的圆锥面

马赫锥的半顶角： \[ \sin\alpha=\frac{u}{v_s}=\frac{1}{M} \] 当\(u=v_s\)时，马赫锥的半顶角为\(\frac{\pi}{2}\)

电磁震荡和电磁波

电磁震荡

LC电路，无阻尼振荡：电路中电量和电流的周期性变化

产生的电磁振荡是无阻尼自由振荡

与简谐振动对比

电量随时间变化： \[ q=Q_0\cos(wt+\varphi) \] 电流随时间变化： \[ i=-wQ_0\sin(wt+\varphi)=I_0\cos(wt+\varphi+\frac{\pi}{2}) \] LC振荡频率： \[ w=\sqrt{\frac{1}{LC}} \]

\[ C=\frac{\varepsilon S}{d},L\propto N^2 \]

电磁波的发射和传播

变化的磁场和变化的电场互相激发形成电磁波

赫兹实验

假设两根导体棒水平，在导体棒接上高压电之后：

产生的电场和磁场相互垂直，电场水平，磁场垂直

平面电磁波

理论和实践都证明：若\(E\)在\(y\)方向振动，则\(B\)在\(z\)方向振动，电磁波沿\(x\)方向传播。（满足右手螺旋）

波动方程： \[ \frac{\partial ^2 E}{\partial t^2}=\frac{1}{\varepsilon \mu}\frac{\partial ^2 E}{\partial x^2} \]

\[ \frac{\partial ^2 H}{\partial t^2}=\frac{1}{\varepsilon \mu}\frac{\partial ^2 H}{\partial x^2} \]

电磁波波速为： \[ u=\frac{1}{\sqrt {\varepsilon \mu}} \] 当电磁波波动方程中沿\(x\)轴正向传播的平面余弦波特解为： \[ E_y=E_{y0}\cos[w(t-\frac{x}{u})+\varphi] \] 相应地磁场部分为： \[ H_z=H_{z0}\cos[w(t-\frac{x}{u})+\varphi] \] \(H\)的振幅： \[ H_{z0}=\frac{E_{y0}}{\mu u}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_0或\sqrt{\varepsilon}E_{y0}=\sqrt{\mu}H_{z0} \]

电磁波的能量

电场能量密度： \[ w_e=\frac{1}{2}\varepsilon E^2 \] 磁场能量密度： \[ w_m=\frac{1}{2}\mu H^2=\frac{1}{2}\varepsilon E^2 \] 总能量密度： \[ w=w_e+w_m=\frac{1}{2}(\varepsilon E^2+\mu H^2)=\varepsilon E^2=\mu H^2=\sqrt{\varepsilon \mu}EH=\frac{1}{u}EH \] 能流密度：单位时间内垂直通过单位面积的电磁能量 \[ S=wu=EH \] 能流密度矢量（坡印亭矢量）： \[ \vec{S}=\vec{E}\times \vec{H} \] 平均能流密度（电磁波强度）： \[ I=\bar{S}=\frac{1}{2}E_0H_0 \] 因为\(\sqrt{\varepsilon}E_{y0}=\sqrt{\mu}H_{z0}\) 和 \(c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\) \[ \bar{S}=\frac{1}{2}\varepsilon_0cE_0^2=\frac{1}{2}\mu_0cH_0^2 \]