连续函数求积分

凑微分

换元法

倒代换

三角换元

\[\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin t\]

\[\sqrt{x^2+a^2}\Rightarrow x=a\tan t\]

\[\sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec t\]

  1. 二次函数化成对称轴形式，利用\(\cos x、\sin x\)换元

  1. \(1+x^2\)利用\(\tan x\)换元

  1. 利用对称区间，偶倍奇零。遇到\(\sin x,\cos x\)利用\(t = \frac{\pi}{2}-x\)或\(t=\pi-x\)换元

  1. 通用三角换元\(t=\tan\frac{x}{2}\)

  1. 巧用\(\tan x,\sec x\)的关系

巧用公式

\[\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx\]

根式代换

  1. 对于含有两个一次平方根式\(\sqrt{x+\alpha}\)与\(\sqrt{x+\beta}(\alpha <\beta)\)的积分，可设\(\sqrt{x+\beta}=\lambda(t+\frac{1}{t}),\sqrt{x+\alpha}=\lambda(t-\frac{1}{t})\)，平方相减得\(\lambda\)
  2. 对于含有两个一次平方根式\(\sqrt[m]{x+\alpha}\)与\(\sqrt[n]{x+\alpha}\)的积分，可设\(t=\sqrt[k]{x+\alpha}\)

分部积分法

改变参数法

待定系数法

存在\(e^x,sinx,cosx\)等函数，要求原函数时可以用待定系数法

结伴法

\(I_1,I_2\)的两种不同线性组合可以积出来

回归法

拆项法

递推法

Taylor展开

利用定积分定义

奇偶性+周期性

\[\int_0^\pi xf(sinx)dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx\]

\[\int_0^{\pi}f(sinx)dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx\]

\[\int_0^{\pi}f(cos)dx=\left\{\begin{array}{**lr**}2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx & &f偶\\0 & &f奇\end{array}\right.\]

\[\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx\]

若\(f(x)\)以T为周期，则\[\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx\]

分段函数求积分

广义积分

定积分典型问题

极限问题

积分等式的证明

积分不等式

微分法

构造新的函数，求导计算

中值定理应用

放缩

Cauchy不等式

利用几何意义

积分中值定理

重积分法